1. 如图，$AC$与$\odot O$相切于点$C$，线段$AO$交$\odot O$于点$B$。过点$B$作$BD // AC$交$\odot O$于点$D$，连接$CD$，$OC$，且$OC$交$DB$于点$E$。若$∠ CDB = 30°$，$DB = 5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
（1）求$\odot O$的半径长；
（2）求由弦$CD$，$BD$与$\overset{\frown}{BC}$所围成的阴影部分的面积。（结果保留$π$）

1. 解：(1) $\because AC$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$，
$\therefore ∠ ACO = 90°$。
$\because BD // AC$，
$\therefore ∠ BEO = ∠ ACO = 90°$。
$\therefore DE = EB = \frac{1}{2}BD=\frac{5 \sqrt{3}}{2}(\mathrm{cm})$。
$\because ∠ D = 30°$，
$\therefore ∠ O = 2 ∠ D = 60°$。在 $Rt △ BEO$ 中，$\sin 60°=\frac{BE}{OB}$，$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{2}}{OB}$，
$\therefore OB = 5 \mathrm{cm}$，即 $\odot O$ 的半径为 $5 \mathrm{cm}$。
(2) 由(1) 可知，$∠ O = 60°$，$∠ BEO = 90°$，
$\therefore ∠ EBO = ∠ D = 30°$。
又 $\because ∠ CED = ∠ BEO$，$BE = ED$，
$\therefore △ CDE ≌ △ OBE$。
$\therefore S_{\mathrm{阴}} = S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60}{360} π · 5^{2}=\frac{25 π}{6}(\mathrm{cm}^{2})$。
答：阴影部分的面积为 $\frac{25 π}{6} \mathrm{cm}^{2}$。

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 54°$，以$AB$为直径的$\odot O$分别交$AC$，$BC$于点$D$，$E$，过点$B$作$\odot O$的切线，交$AC$的延长线于点$F$。
（1）求证：$BE = CE$；
（2）求$∠ CBF$的度数；
（3）若$AB = 6$，求$\overset{\frown}{AD}$的长。

2. (1) 证明：连接 $AE$，如图，
$\because AB$ 是 $\odot O$ 直径，
$\therefore ∠ AEB = 90°$，即 $AE ⊥ BC$。
$\because AB = AC$，
$\therefore BE = CE$。
(2) 解：$\because ∠ BAC = 54°$，$AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = 63°$。
$\because BF$ 是 $\odot O$ 切线，
$\therefore ∠ ABF = 90°$，
$\therefore ∠ CBF = ∠ ABF - ∠ ABC = 27°$。
(3) 解：连接 $OD$，如图，
$\because OA = OD$，$∠ BAC = 54°$，
$\therefore ∠ AOD = 72°$。
$\because AB = 6$，$\therefore OA = 3$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}$ 的长是 $\frac{72 π × 3}{180}=\frac{6}{5} π$。