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例 2 有一次，我国著名数学家华罗庚在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是$59\ 319$，求它的立方根. 华罗庚脱口而出：$39$.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试.
①$\because\sqrt[3]{1\ 000}=10$，$\sqrt[3]{1\ 000\ 000}=100$，又$\because1\ 000＜59\ 319＜1\ 000\ 000$，
$\therefore10＜\sqrt[3]{59\ 319}＜100$. $\therefore$能确定$59\ 319$的立方根是两位数.
②$\because59\ 319$个位上的数是$9$，又$\because9^{3}=729$，
$\therefore$能确定$59\ 319$的立方根个位上的数是$9$.
③若划去$59\ 319$后面的三位$319$，得到数$59$.
$\because\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{59}＜\sqrt[3]{64}$，$\therefore3＜\sqrt[3]{59}＜4$，即$30＜\sqrt[3]{59\ 319}＜40$.
$\therefore$能确定$59\ 319$的立方根十位上的数是$3$. $\therefore59\ 319$的立方根是$39$.
跟着华罗庚学猜数：求$19\ 683$的立方根.（过程可按题目中的步骤书写）
分析：利用题目中的方法分步解答即可，先确定$19\ 683$的立方根是几位数，再依次确定其各个数位上的数分别是几.
解：①$\because\sqrt[3]{1\ 000}=10$，$\sqrt[3]{1\ 000\ 000}=100$，又$\because1\ 000＜19\ 683＜1\ 000\ 000$，
$\therefore10＜\sqrt[3]{19\ 683}＜100$. $\therefore$能确定$19\ 683$的立方根是两位数.
②$\because19\ 683$个位上的数是$3$，又$\because7^{3}=343$，
$\therefore$能确定$19\ 683$的立方根个位上的数是$7$.
③若划去$19\ 683$后面的三位$683$，得到数$19$.
$\because\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{19}＜\sqrt[3]{27}$，$\therefore2＜\sqrt[3]{19}＜3$，即$20＜\sqrt[3]{19\ 683}＜30$.
$\therefore$能确定$19\ 683$的立方根十位上的数是$2$. $\therefore19\ 683$的立方根是$27$.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试.
①$\because\sqrt[3]{1\ 000}=10$，$\sqrt[3]{1\ 000\ 000}=100$，又$\because1\ 000＜59\ 319＜1\ 000\ 000$，
$\therefore10＜\sqrt[3]{59\ 319}＜100$. $\therefore$能确定$59\ 319$的立方根是两位数.
②$\because59\ 319$个位上的数是$9$，又$\because9^{3}=729$，
$\therefore$能确定$59\ 319$的立方根个位上的数是$9$.
③若划去$59\ 319$后面的三位$319$，得到数$59$.
$\because\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{59}＜\sqrt[3]{64}$，$\therefore3＜\sqrt[3]{59}＜4$，即$30＜\sqrt[3]{59\ 319}＜40$.
$\therefore$能确定$59\ 319$的立方根十位上的数是$3$. $\therefore59\ 319$的立方根是$39$.
跟着华罗庚学猜数：求$19\ 683$的立方根.（过程可按题目中的步骤书写）
分析：利用题目中的方法分步解答即可，先确定$19\ 683$的立方根是几位数，再依次确定其各个数位上的数分别是几.
解：①$\because\sqrt[3]{1\ 000}=10$，$\sqrt[3]{1\ 000\ 000}=100$，又$\because1\ 000＜19\ 683＜1\ 000\ 000$，
$\therefore10＜\sqrt[3]{19\ 683}＜100$. $\therefore$能确定$19\ 683$的立方根是两位数.
②$\because19\ 683$个位上的数是$3$，又$\because7^{3}=343$，
$\therefore$能确定$19\ 683$的立方根个位上的数是$7$.
③若划去$19\ 683$后面的三位$683$，得到数$19$.
$\because\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{19}＜\sqrt[3]{27}$，$\therefore2＜\sqrt[3]{19}＜3$，即$20＜\sqrt[3]{19\ 683}＜30$.
$\therefore$能确定$19\ 683$的立方根十位上的数是$2$. $\therefore19\ 683$的立方根是$27$.
答案
解：
①$\because \sqrt[3]{1\ 000} = 10$，$\sqrt[3]{1\ 000\ 000} = 100$，
又$\because 1\ 000 ＜ 19\ 683 ＜ 1\ 000\ 000$，
$\therefore 10 ＜ \sqrt[3]{19\ 683} ＜ 100$，
$\therefore 19\ 683$的立方根是两位数。
②$\because 19\ 683$的个位上的数是$3$，
又$\because 7^3 = 343$，其个位为$3$，
$\therefore \sqrt[3]{19\ 683}$的个位上的数是$7$。
③划去$19\ 683$后面的三位$683$，得到数$19$，
$\because \sqrt[3]{8} ＜ \sqrt[3]{19} ＜ \sqrt[3]{27}$，即$2 ＜ \sqrt[3]{19} ＜ 3$，
$\therefore 20 ＜ \sqrt[3]{19\ 683} ＜ 30$，
$\therefore \sqrt[3]{19\ 683}$的十位上的数是$2$。
$\therefore 19\ 683$的立方根是$27$。
①$\because \sqrt[3]{1\ 000} = 10$，$\sqrt[3]{1\ 000\ 000} = 100$，
又$\because 1\ 000 ＜ 19\ 683 ＜ 1\ 000\ 000$，
$\therefore 10 ＜ \sqrt[3]{19\ 683} ＜ 100$，
$\therefore 19\ 683$的立方根是两位数。
②$\because 19\ 683$的个位上的数是$3$，
又$\because 7^3 = 343$，其个位为$3$，
$\therefore \sqrt[3]{19\ 683}$的个位上的数是$7$。
③划去$19\ 683$后面的三位$683$，得到数$19$，
$\because \sqrt[3]{8} ＜ \sqrt[3]{19} ＜ \sqrt[3]{27}$，即$2 ＜ \sqrt[3]{19} ＜ 3$，
$\therefore 20 ＜ \sqrt[3]{19\ 683} ＜ 30$，
$\therefore \sqrt[3]{19\ 683}$的十位上的数是$2$。
$\therefore 19\ 683$的立方根是$27$。
变式：1. 正整数$a$，$b$分别满足$\sqrt[3]{55}＜a＜\sqrt[3]{97}$，$\sqrt{7}＜b＜\sqrt{15}$，则$b^{a}$等于(
A.$16$
B.$27$
C.$64$
D.$81$
D
).A.$16$
B.$27$
C.$64$
D.$81$
答案
1. D
解析
【解析】
先确定正整数$a$的值：
因为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt[3]{125}=5$，且$\sqrt[3]{55}＜\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{97}＜\sqrt[3]{125}$，即$3＜\sqrt[3]{55}＜4＜\sqrt[3]{97}＜5$，又$\sqrt[3]{55}＜a＜\sqrt[3]{97}$，$a$为正整数，所以$a=4$。
再确定正整数$b$的值：
因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$\sqrt{7}＜\sqrt{9}＜\sqrt{15}$，即$2＜\sqrt{7}＜3＜\sqrt{15}＜4$，又$\sqrt{7}＜b＜\sqrt{15}$，$b$为正整数，所以$b=3$。
则$b^a=3^4=81$。
【答案】
D
【知识点】
根式估值，有理数乘方
【点评】
本题关键是通过估算根式的取值范围，确定符合条件的正整数$a$、$b$，再进行乘方运算求解，考查了对根式大小的估算能力和乘方运算的掌握。
先确定正整数$a$的值：
因为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt[3]{125}=5$，且$\sqrt[3]{55}＜\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{97}＜\sqrt[3]{125}$，即$3＜\sqrt[3]{55}＜4＜\sqrt[3]{97}＜5$，又$\sqrt[3]{55}＜a＜\sqrt[3]{97}$，$a$为正整数，所以$a=4$。
再确定正整数$b$的值：
因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$\sqrt{7}＜\sqrt{9}＜\sqrt{15}$，即$2＜\sqrt{7}＜3＜\sqrt{15}＜4$，又$\sqrt{7}＜b＜\sqrt{15}$，$b$为正整数，所以$b=3$。
则$b^a=3^4=81$。
【答案】
D
【知识点】
根式估值，有理数乘方
【点评】
本题关键是通过估算根式的取值范围，确定符合条件的正整数$a$、$b$，再进行乘方运算求解，考查了对根式大小的估算能力和乘方运算的掌握。
2. $\sqrt[3]{29\ 791}=$
31
.答案
2. 31
解析
【解析】
因为$31^3 = 31×31×31 = 961×31 = 29791$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{29791}=31$。
【答案】
31
【知识点】
立方根的计算；立方与开立方的互逆运算
【点评】
本题考查立方根的求解，关键是利用立方与开立方的互逆关系，通过计算整数的立方来确定立方根的值，需熟练掌握整数的立方运算。
因为$31^3 = 31×31×31 = 961×31 = 29791$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{29791}=31$。
【答案】
31
【知识点】
立方根的计算；立方与开立方的互逆运算
【点评】
本题考查立方根的求解，关键是利用立方与开立方的互逆关系，通过计算整数的立方来确定立方根的值，需熟练掌握整数的立方运算。
