例 1 解三元一次方程组$\begin{cases}x + y = 7, &①\\y + z = 8, &②\\z + x = 9. &③\end{cases}$
分析：1. 此方程组是三元一次方程组，但每个方程都只含两个未知数，在“三元”化“二元”的过程中，首先要确定消去哪个未知数. 如消去$x$，则方程②不变，用方程①③消$x$. 2. 此方程组又有其特殊性，每个方程只含两个未知数且三个方程中未知数的系数是相同的，利用其特点，可采用整体代入的方法.
解：解法一，③$-$①，得$z - y = 2$， ④
②$+$④，得$2z = 10$，所以$z = 5$.
把$z = 5$代入③，得$x = 4$.
把$x = 4$代入①，得$y = 3$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 5.\end{cases}$
解法二，①$+$②$+$③，得$2x + 2y + 2z = 24$，
所以$x + y + z = 12$. ⑤
把①代入⑤，得$z = 5$.
把②代入⑤，得$x = 4$.
把③代入⑤，得$y = 3$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 5.\end{cases}$

解法一
③$-$①，得$z - y = 2$，④
②$+$④，得$2z = 10$，解得$z = 5$
把$z = 5$代入③，得$x + 5 = 9$，解得$x = 4$
把$x = 4$代入①，得$4 + y = 7$，解得$y = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 5.\end{cases}$
解法二
①$+$②$+$③，得$2x + 2y + 2z = 24$，即$x + y + z = 12$，⑤
⑤$-$①，得$z = 12 - 7 = 5$
⑤$-$②，得$x = 12 - 8 = 4$
⑤$-$③，得$y = 12 - 9 = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\\z = 5.\end{cases}$