7. 如图,某大型游乐场的景点A、B、C依次位于同一直线上,景点B是登高观光电梯的入
口.已知A、C之间的距离为70 m,EB⊥AC,垂足为B.电梯匀速运行10 s可从B处到
达D处,此时可观察到景点C,电梯再次以相同的速度匀速运行30 s可到达E处,此时
可观察到景点A.在点D、E处分别测得∠BDC=60°,∠BEA=30°.求电梯在上升过
程中的运行速度.

解：设电梯在上升过程中的运行速度为$ x \, \mathrm{m/s} $。
由题意得，$ BD = 10x \, \mathrm{m} $，$ BE = 10x + 30x = 40x \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ BDC $中，$ ∠ DBC = 90° $，$ ∠ BDC = 60° $，
$ \therefore BC = BD · \tan60° = 10x · \sqrt{3} = 10\sqrt{3}x $。
在$ \mathrm{Rt}△ BEA $中，$ ∠ EBA = 90° $，$ ∠ BEA = 30° $，
$ \therefore AB = BE · \tan30° = 40x · \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{40\sqrt{3}x}{3} $。
$ \because AB + BC = AC = 70 $，
$ \therefore \frac{40\sqrt{3}x}{3} + 10\sqrt{3}x = 70 $，
化简得$ \frac{70\sqrt{3}x}{3} = 70 $，
解得$ x = \sqrt{3} $。
答：电梯在上升过程中的运行速度为$ \sqrt{3} \, \mathrm{m/s} $。

例1 如图7-34,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=60°$,$∠ BAC$的平分线$AM$的长为15 cm.求直角边$AC$和斜边$AB$的长.
解 在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,

$\because \dfrac{AC}{AM}=\cos∠ MAC$,
$\therefore AC=AM· \cos∠ MAC=15\cos30°=\dfrac{15\sqrt{3}}{2}$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
$\because ∠ B=30°$,
$\therefore AB=2AC=15\sqrt{3}$.

解：
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=60°$，$AM$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ MAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，
$\because \cos∠ MAC=\dfrac{AC}{AM}$，
$\therefore AC=AM·\cos∠ MAC=15×\cos30°=15×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{15\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°-∠ BAC=30°$，
$\therefore AB=2AC=2×\dfrac{15\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
答：直角边$AC$的长为$\dfrac{15\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，斜边$AB$的长为$15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。

例2 林场伐木工使一批圆木在山坡上以50 m/min的速度匀速下滑,测得每下滑10 m,圆木铅直下降3.6 m.
(1) 求山坡的倾斜角$α$(精确到$1'$);
(2) 已知山高85 m,从山顶下滑到山脚需要滑行多少时间(精确到1 s)?
解 (1) 如图7-35,设$BE=10$,过点$E$作$EF⊥ BC$,垂足为$F$,
则$BF=3.6$,$EF// AC$,
$\therefore ∠ BEF=∠ A=α$.

在$\mathrm{Rt}△ BEF$中,
$\because \sin∠ BEF=\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{3.6}{10}=0.36$,
$\therefore α\approx 21°6'$.
因此山坡的倾斜角约为$21°6'$.
(2) 在$\mathrm{Rt}△ EBF$和$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
$∠ B=∠ B$,$∠ BFE=∠ BCA=90°$,
$\therefore △ EBF∽△ ABC$.
$\therefore \dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BE}{BA}$.
$\therefore \dfrac{3.6}{85}=\dfrac{10}{AB}$.
$\therefore AB\approx 236$.
$\therefore 236÷ 50=4.72\ \mathrm{min}\approx 283\ \mathrm{s}$.
所以从山顶滑到山脚约需283 s.
说明 铅直线指向地心,与此处的水平面垂直,在解决坡面问题时,常用它来构造直角三角形.

解：
(1) 如图，设$BE=10$，过点$E$作$EF⊥BC$，垂足为$F$，
则$BF=3.6$，$EF// AC$，
$\therefore ∠BEF=∠A=α$。
在$\mathrm{Rt}△BEF$中，
$\because \sin∠BEF=\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{3.6}{10}=0.36$，
$\therefore α\approx 21°6'$。
答：山坡的倾斜角约为$21°6'$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△EBF$和$\mathrm{Rt}△ABC$中，
$\because ∠B=∠B$，$∠BFE=∠BCA=90°$，
$\therefore △EBF∽△ABC$。
$\therefore \dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BE}{BA}$，
即$\dfrac{3.6}{85}=\dfrac{10}{AB}$，
解得$AB\approx 236\ \mathrm{m}$。
$\because$ 圆木下滑速度为$50\ \mathrm{m/min}$，
$\therefore$ 滑行时间为$236÷50=4.72\ \mathrm{min}\approx 283\ \mathrm{s}$。
答：从山顶滑到山脚约需283 s。