登录
例3 某市区进行天然气改造工程，甲、乙两个工程队共同承包这项工程. 若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成. 若甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，则乙队还需要几天能够完成任务？
解 设乙队还需要$x$天能够完成任务，
根据两队的工作量之和等于总工作量，
列得方程$\frac{4}{10}+\frac{4+x}{15}=1$.
解得$x=5$.
答：乙队还需要5天能够完成任务.
解 设乙队还需要$x$天能够完成任务，
根据两队的工作量之和等于总工作量，
列得方程$\frac{4}{10}+\frac{4+x}{15}=1$.
解得$x=5$.
答：乙队还需要5天能够完成任务.
答案
设乙队还需要$x$天能够完成任务，根据两队的工作量之和等于总工作量，列得方程$\frac{4}{10}+\frac{4+x}{15}=1$.解得$x=5$.答：乙队还需要5天能够完成任务.
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时首先默认把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=1÷单独完成总工程的时间”，可算出甲队工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队工作效率为$\frac{1}{15}$。接下来梳理两队工作时长：甲仅参与前4天施工，总工作时长为4天；乙先和甲共同施工4天，后续还要单独做$x$天，总工作时长为$(4+x)$天。工程问题的核心等量关系为“各部分工作量之和=总工作量”，据此列一元一次方程求解即可得到乙还需要的工作天数。
【解析】
解：设乙队还需要$x$天能够完成任务。
将总工作量记为单位“1”，则甲队工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队工作效率为$\frac{1}{15}$。
甲队总工作量为$4×\frac{1}{10}=\frac{4}{10}$，乙队总工作量为$(4+x)×\frac{1}{15}=\frac{4+x}{15}$。
根据“甲工作量+乙工作量=总工作量”列方程：
$\frac{4}{10}+\frac{4+x}{15}=1$
解方程：两边同时乘30去分母，得
$3×4+2×(4+x)=30$
计算化简得：$12+8+2x=30$
合并同类项得：$20+2x=30$
移项得：$2x=10$
系数化为1得：$x=5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
答：乙队还需要5天能够完成任务。
【答案】
乙队还需要5天能够完成任务
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题是工程类应用题的基础常规题型，解题关键是明确总工作量为单位“1”，准确梳理各施工队的工作时长，利用工作量的等量关系列方程，熟练掌握一元一次方程的基础解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时首先默认把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=1÷单独完成总工程的时间”，可算出甲队工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队工作效率为$\frac{1}{15}$。接下来梳理两队工作时长：甲仅参与前4天施工，总工作时长为4天；乙先和甲共同施工4天，后续还要单独做$x$天，总工作时长为$(4+x)$天。工程问题的核心等量关系为“各部分工作量之和=总工作量”，据此列一元一次方程求解即可得到乙还需要的工作天数。
【解析】
解：设乙队还需要$x$天能够完成任务。
将总工作量记为单位“1”，则甲队工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队工作效率为$\frac{1}{15}$。
甲队总工作量为$4×\frac{1}{10}=\frac{4}{10}$，乙队总工作量为$(4+x)×\frac{1}{15}=\frac{4+x}{15}$。
根据“甲工作量+乙工作量=总工作量”列方程：
$\frac{4}{10}+\frac{4+x}{15}=1$
解方程：两边同时乘30去分母，得
$3×4+2×(4+x)=30$
计算化简得：$12+8+2x=30$
合并同类项得：$20+2x=30$
移项得：$2x=10$
系数化为1得：$x=5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
答：乙队还需要5天能够完成任务。
【答案】
乙队还需要5天能够完成任务
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题是工程类应用题的基础常规题型，解题关键是明确总工作量为单位“1”，准确梳理各施工队的工作时长，利用工作量的等量关系列方程，熟练掌握一元一次方程的基础解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
知识点四 销售中的盈亏问题
例4 某商场对一种商品进行促销，按标价的八折出售，仍可获利10%（相对于进价）. 已知此商品的标价是2 200元，则此商品的进价是多少元？
解 设此商品的进价是$x$元，
根据利润=售价－进价，列得方程 $2200×0.8 - x = 10\%x$，
解得 $x=1600$.
答：此商品的进价是1 600元.
例4 某商场对一种商品进行促销，按标价的八折出售，仍可获利10%（相对于进价）. 已知此商品的标价是2 200元，则此商品的进价是多少元？
解 设此商品的进价是$x$元，
根据利润=售价－进价，列得方程 $2200×0.8 - x = 10\%x$，
解得 $x=1600$.
答：此商品的进价是1 600元.
答案
设此商品的进价是$x$元，根据利润=售价－进价，列得方程 $2200×0.8 - x = 10\%x$，解得 $x=1600$.答：此商品的进价是1 600元.
解析
【分析】
解题时首先要明确销售问题中的各量关系：售价=标价×折扣，利润=售价-进价，利润=进价×利润率。本题已知商品标价和折扣，可先表示出实际售价；获利10%是相对于进价而言，即利润为进价的10%。我们可以设进价为未知数，利用“售价-进价=利润”这一等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
解：设此商品的进价是$x$元。
商品按标价的八折出售，因此实际售价为$2200×0.8$元；
获利10%是相对于进价的利润，即利润为$10\%x$元。
根据“利润=售价-进价”的等量关系列方程：
$2200×0.8 - x = 10\%x$
整理得：$1760 - x = 0.1x$
移项得：$1.1x = 1760$
系数化为1得：$x = 1600$
经检验，$x=1600$符合实际题意。
答：此商品的进价是1600元。
【答案】
此商品的进价是1600元。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售问题的数量关系
【点评】
本题是销售盈亏类的典型基础题，解题的核心是准确区分标价、售价、进价、利润率的概念，牢记销售问题的基本公式，找到合适的等量关系列方程求解，熟练掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确销售问题中的各量关系：售价=标价×折扣，利润=售价-进价，利润=进价×利润率。本题已知商品标价和折扣，可先表示出实际售价；获利10%是相对于进价而言，即利润为进价的10%。我们可以设进价为未知数，利用“售价-进价=利润”这一等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
解：设此商品的进价是$x$元。
商品按标价的八折出售，因此实际售价为$2200×0.8$元；
获利10%是相对于进价的利润，即利润为$10\%x$元。
根据“利润=售价-进价”的等量关系列方程：
$2200×0.8 - x = 10\%x$
整理得：$1760 - x = 0.1x$
移项得：$1.1x = 1760$
系数化为1得：$x = 1600$
经检验，$x=1600$符合实际题意。
答：此商品的进价是1600元。
【答案】
此商品的进价是1600元。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售问题的数量关系
【点评】
本题是销售盈亏类的典型基础题，解题的核心是准确区分标价、售价、进价、利润率的概念，牢记销售问题的基本公式，找到合适的等量关系列方程求解，熟练掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
例5 某足球协会举办了一次足球赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
——解题要点
如果$m$件A产品与$n$件B产品配套，那么其相等关系是“$\frac{A产品的总件数}{m}=\frac{B产品的总件数}{n}$”。
——解题要点
本题是工程问题，设甲、乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要$x$天能够完成任务，利用总工程量=甲队完成的工程量+乙队完成的工程量，可列出关于$x$的一元一次方程，解之即可得出结论。
——解题要点
设此商品的进价是$x$元，利用利润=售价-进价，可列出关于$x$的一元一次方程，解之即可得出结论。
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有输过比赛。
（1）试判断A队胜、平各几场；
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，则A队的每一名队员所得奖金与出场费是多少元？
解（1）设A队胜了$x$场，因为进行了12场比赛，并且没有输过，所以平了$(12-x)$场，
根据“比赛总积分=胜场总积分+平场总积分”列方程，得$3x+(12-x)=20$，
解得$x=4$. 则$12-x=8$.
答：A队胜4场，平8场.
（2）每场比赛每名队员得出场费500元，则每一名队员12场比赛出场费共$500×12=6000$（元），
胜了4场，奖金为$1500×4=6000$（元），
平了8场，奖金为$700×8=5600$（元），
所以奖金加出场费为$6000+5600+6000=17600$（元）.
答：A队的每一名队员所得奖金与出场费是17600元.
——解题要点
如果$m$件A产品与$n$件B产品配套，那么其相等关系是“$\frac{A产品的总件数}{m}=\frac{B产品的总件数}{n}$”。
——解题要点
本题是工程问题，设甲、乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要$x$天能够完成任务，利用总工程量=甲队完成的工程量+乙队完成的工程量，可列出关于$x$的一元一次方程，解之即可得出结论。
——解题要点
设此商品的进价是$x$元，利用利润=售价-进价，可列出关于$x$的一元一次方程，解之即可得出结论。
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有输过比赛。
（1）试判断A队胜、平各几场；
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，则A队的每一名队员所得奖金与出场费是多少元？
解（1）设A队胜了$x$场，因为进行了12场比赛，并且没有输过，所以平了$(12-x)$场，
根据“比赛总积分=胜场总积分+平场总积分”列方程，得$3x+(12-x)=20$，
解得$x=4$. 则$12-x=8$.
答：A队胜4场，平8场.
（2）每场比赛每名队员得出场费500元，则每一名队员12场比赛出场费共$500×12=6000$（元），
胜了4场，奖金为$1500×4=6000$（元），
平了8场，奖金为$700×8=5600$（元），
所以奖金加出场费为$6000+5600+6000=17600$（元）.
答：A队的每一名队员所得奖金与出场费是17600元.
答案
1. 设A队胜了$x$场，因为进行了12场比赛，并且没有输过，所以平了$(12-x)$场，根据“比赛总积分=胜场总积分+平场总积分”列方程，得$3x+(12-x)=20$，解得$x=4$. 则$12-x=8$.答：A队胜4场，平8场.
2. 每场比赛每名队员得出场费500元，则每一名队员12场比赛出场费共$500×12=6000$（元），胜了4场，奖金为$1500×4=6000$（元），平了8场，奖金为$700×8=5600$（元），所以奖金加出场费为$6000+5600+6000=17600$（元）.答：A队的每一名队员所得奖金与出场费是17600元.
2. 每场比赛每名队员得出场费500元，则每一名队员12场比赛出场费共$500×12=6000$（元），胜了4场，奖金为$1500×4=6000$（元），平了8场，奖金为$700×8=5600$（元），所以奖金加出场费为$6000+5600+6000=17600$（元）.答：A队的每一名队员所得奖金与出场费是17600元.
解析
【分析】
解决第（1）问时，已知A队共赛12场且没有负场，比赛结果只有胜、平两种，可先设胜场数为未知数，用总场数表示平场数，再根据“总积分=胜场总积分+平场总积分”的等量关系列一元一次方程求解即可。解决第（2）问时，结合第（1）问求出的胜、平场数，分别计算胜场奖金、平场奖金，再加上12场的总出场费，三者相加即为每名队员的总收入。
【解析】
（1）设A队胜了$x$场，因为总比赛12场且没有输过，所以平了$(12-x)$场。
根据积分规则列方程：
$3x+(12-x)=20$
化简得：$2x+12=20$
解得：$x=4$
则平的场数为$12-x=12-4=8$（场）。
（2）每名队员12场的出场费：$500×12=6000$（元）
胜4场的奖金：$1500×4=6000$（元）
平8场的奖金：$700×8=5600$（元）
总金额：$6000+6000+5600=17600$（元）
【答案】
（1）A队胜4场，平8场；
（2）A队的每一名队员所得奖金与出场费是17600元。
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.有理数混合运算
【点评】
本题是典型的积分类实际应用题，解题关键是准确提取题干和表格中的信息，找准等量关系列方程求解，计算时注意不要遗漏出场费，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
解决第（1）问时，已知A队共赛12场且没有负场，比赛结果只有胜、平两种，可先设胜场数为未知数，用总场数表示平场数，再根据“总积分=胜场总积分+平场总积分”的等量关系列一元一次方程求解即可。解决第（2）问时，结合第（1）问求出的胜、平场数，分别计算胜场奖金、平场奖金，再加上12场的总出场费，三者相加即为每名队员的总收入。
【解析】
（1）设A队胜了$x$场，因为总比赛12场且没有输过，所以平了$(12-x)$场。
根据积分规则列方程：
$3x+(12-x)=20$
化简得：$2x+12=20$
解得：$x=4$
则平的场数为$12-x=12-4=8$（场）。
（2）每名队员12场的出场费：$500×12=6000$（元）
胜4场的奖金：$1500×4=6000$（元）
平8场的奖金：$700×8=5600$（元）
总金额：$6000+6000+5600=17600$（元）
【答案】
（1）A队胜4场，平8场；
（2）A队的每一名队员所得奖金与出场费是17600元。
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.有理数混合运算
【点评】
本题是典型的积分类实际应用题，解题关键是准确提取题干和表格中的信息，找准等量关系列方程求解，计算时注意不要遗漏出场费，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
