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三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,P是△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合.如果AP=3,求△PAQ的面积.
第16小题图
16.(6分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,P是△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合.如果AP=3,求△PAQ的面积.
第16小题图
答案
解：
∵ △ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACQ重合，
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∵ ∠BAC = 90°，即∠BAP + ∠PAC = 90°，
∴ ∠CAQ + ∠PAC = ∠PAQ = 90°。
∴ △PAQ是等腰直角三角形，且AP = AQ = 3。
∴ $S_{△ PAQ} = \frac{1}{2} × AP × AQ = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
∵ △ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACQ重合，
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∵ ∠BAC = 90°，即∠BAP + ∠PAC = 90°，
∴ ∠CAQ + ∠PAC = ∠PAQ = 90°。
∴ △PAQ是等腰直角三角形，且AP = AQ = 3。
∴ $S_{△ PAQ} = \frac{1}{2} × AP × AQ = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“△ABP绕点A旋转后与△ACQ重合”入手，联想旋转的性质：旋转前后图形的对应边相等、对应角相等。第一步先根据旋转性质得到AP=AQ、∠BAP=∠CAQ；再结合已知∠BAC=90°，通过角的等量代换推导得出∠PAQ=90°，即可判断△PAQ是等腰直角三角形，最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACQ重合，
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∵ ∠BAC = 90°，即∠BAP + ∠PAC = 90°，
∴ ∠CAQ + ∠PAC = ∠PAQ = 90°。
∴ △PAQ是等腰直角三角形，且AP = AQ = 3。
∴ $S_{△ PAQ} = \frac{1}{2} × AP × AQ = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
旋转的性质、等腰直角三角形判定、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查旋转性质的应用，解题关键是通过旋转的对应关系完成角的等量代换，确定三角形的形状，整体计算量小，思路清晰，掌握旋转的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“△ABP绕点A旋转后与△ACQ重合”入手，联想旋转的性质：旋转前后图形的对应边相等、对应角相等。第一步先根据旋转性质得到AP=AQ、∠BAP=∠CAQ；再结合已知∠BAC=90°，通过角的等量代换推导得出∠PAQ=90°，即可判断△PAQ是等腰直角三角形，最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACQ重合，
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∵ ∠BAC = 90°，即∠BAP + ∠PAC = 90°，
∴ ∠CAQ + ∠PAC = ∠PAQ = 90°。
∴ △PAQ是等腰直角三角形，且AP = AQ = 3。
∴ $S_{△ PAQ} = \frac{1}{2} × AP × AQ = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
旋转的性质、等腰直角三角形判定、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查旋转性质的应用，解题关键是通过旋转的对应关系完成角的等量代换，确定三角形的形状，整体计算量小，思路清晰，掌握旋转的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
17.(6分)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-6,0),C(-1,0).
(1)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁,并写出点A₁的坐标;
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A₂B₂C₂,并写出点A₂的坐标.
(1)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁,并写出点A₁的坐标;
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A₂B₂C₂,并写出点A₂的坐标.
答案
解：
(1) 画出△A₁B₁C₁如图所示，
根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点$(x,y)$绕原点$O$逆时针旋转$90°$后对应点的坐标为$(-y,x)$，将$A(-2,3)$代入，可得点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-3,-2)}$。
(2) 画出△A₂B₂C₂如图所示，
根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的对应点坐标为$(-x,-y)$，将$A(-2,3)$代入，可得点$A_2$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$。
(1) 画出△A₁B₁C₁如图所示，
根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点$(x,y)$绕原点$O$逆时针旋转$90°$后对应点的坐标为$(-y,x)$，将$A(-2,3)$代入，可得点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-3,-2)}$。
(2) 画出△A₂B₂C₂如图所示，
根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的对应点坐标为$(-x,-y)$，将$A(-2,3)$代入，可得点$A_2$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$。
解析
【分析】
本题包含两个坐标变换与作图的小问，解题思路清晰：
(1) 解决绕原点逆时针旋转90°的问题，首先回忆对应坐标变换规律：点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标变为$(-y,x)$，先计算三个顶点旋转后的坐标，再描点连线得到旋转后的三角形，代入A点坐标即可直接求出$A_1$的坐标。
(2) 解决关于原点对称的图形问题，回忆关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$，同理计算三个顶点的对称点坐标，描点连线得到对称三角形，代入A点坐标即可求出$A_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据点绕原点$O$逆时针旋转90°的坐标变换规则：原坐标为$(x,y)$的点，旋转后对应点坐标为$(-y,x)$。
已知$A(-2,3)$，即$x=-2$，$y=3$，代入规则可得$A_1$的横坐标为$-y=-3$，纵坐标为$x=-2$，即$A_1(-3,-2)$。
同理计算$B(-6,0)$、$C(-1,0)$旋转后的坐标为$B_1(0,-6)$、$C_1(0,-1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标特征：原坐标为$(x,y)$的点，关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$。
已知$A(-2,3)$，代入特征可得$A_2$的横坐标为$-x=2$，纵坐标为$-y=-3$，即$A_2(2,-3)$。
同理计算$B(-6,0)$、$C(-1,0)$的对称点坐标为$B_2(6,0)$、$C_2(1,0)$，在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点，依次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) $△ A_1B_1C_1$如图所示，点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-3,-2)}$；
(2) $△ A_2B_2C_2$如图所示，点$A_2$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$。
【知识点】
旋转变换的坐标规律、关于原点对称的坐标特征
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础题型，核心考查两种常见坐标变换的规律应用，既要求学生熟练掌握坐标变换规则，也考查基础的作图能力，掌握对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题包含两个坐标变换与作图的小问，解题思路清晰：
(1) 解决绕原点逆时针旋转90°的问题，首先回忆对应坐标变换规律：点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标变为$(-y,x)$，先计算三个顶点旋转后的坐标，再描点连线得到旋转后的三角形，代入A点坐标即可直接求出$A_1$的坐标。
(2) 解决关于原点对称的图形问题，回忆关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$，同理计算三个顶点的对称点坐标，描点连线得到对称三角形，代入A点坐标即可求出$A_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据点绕原点$O$逆时针旋转90°的坐标变换规则：原坐标为$(x,y)$的点，旋转后对应点坐标为$(-y,x)$。
已知$A(-2,3)$，即$x=-2$，$y=3$，代入规则可得$A_1$的横坐标为$-y=-3$，纵坐标为$x=-2$，即$A_1(-3,-2)$。
同理计算$B(-6,0)$、$C(-1,0)$旋转后的坐标为$B_1(0,-6)$、$C_1(0,-1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标特征：原坐标为$(x,y)$的点，关于原点对称的点坐标为$(-x,-y)$。
已知$A(-2,3)$，代入特征可得$A_2$的横坐标为$-x=2$，纵坐标为$-y=-3$，即$A_2(2,-3)$。
同理计算$B(-6,0)$、$C(-1,0)$的对称点坐标为$B_2(6,0)$、$C_2(1,0)$，在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点，依次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) $△ A_1B_1C_1$如图所示，点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-3,-2)}$；
(2) $△ A_2B_2C_2$如图所示，点$A_2$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$。
【知识点】
旋转变换的坐标规律、关于原点对称的坐标特征
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础题型，核心考查两种常见坐标变换的规律应用，既要求学生熟练掌握坐标变换规则，也考查基础的作图能力，掌握对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.85
第17小题图
18.（7分）如图，O在等边△ABC内，∠BOC=150°，将△BOC绕点C顺时针旋转后，得到△ADC，连接OD.
(1)△COD是三角形；
(2)若OB=5，OC=3，求OA的长.
第18小题图
18.（7分）如图，O在等边△ABC内，∠BOC=150°，将△BOC绕点C顺时针旋转后，得到△ADC，连接OD.
(1)△COD是三角形；
(2)若OB=5，OC=3，求OA的长.
第18小题图
答案
解：
(1) 等边
(2) 由旋转的性质可得：$△ ADC ≌ △ BOC$，
$\therefore AD = OB = 5$，$CD = OC$，$∠ ADC = ∠ BOC = 150°$。
由(1)知$△ COD$是等边三角形，
$\therefore OD = OC = 3$，$∠ ODC = 60°$，
$\therefore ∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = 150° - 60° = 90°$，
即$△ AOD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
综上，$OA$的长为$\sqrt{34}$。
(1) 等边
(2) 由旋转的性质可得：$△ ADC ≌ △ BOC$，
$\therefore AD = OB = 5$，$CD = OC$，$∠ ADC = ∠ BOC = 150°$。
由(1)知$△ COD$是等边三角形，
$\therefore OD = OC = 3$，$∠ ODC = 60°$，
$\therefore ∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = 150° - 60° = 90°$，
即$△ AOD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
综上，$OA$的长为$\sqrt{34}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据旋转的性质可知，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得OC=CD，且旋转角∠OCD等于等边△ABC的内角∠ACB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△COD的形状；
(2) 先利用旋转的性质得到AD=OB、∠ADC=∠BOC的度数，再结合(1)中等边三角形的性质得到OD的长度和∠ODC的度数，进而求出∠ADO=90°得到直角三角形AOD，最后利用勾股定理即可求出OA的长度。
【解析】
(1) 由旋转的性质可得：OC=CD，∠OCD=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，即∠OCD=60°，
∴△COD是有一个角为60°的等腰三角形，为等边三角形。
(2) 由旋转的性质可得：$△ ADC ≌ △ BOC$，
$\therefore AD = OB = 5$，$CD = OC$，$∠ ADC = ∠ BOC = 150°$。
由(1)知$△ COD$是等边三角形，
$\therefore OD = OC = 3$，$∠ ODC = 60°$，
$\therefore ∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = 150° - 60° = 90°$，
即$△ AOD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
【答案】
(1) 等边；(2) $\sqrt{34}$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是熟练运用旋转的性质实现边和角的转化，构造直角三角形求解，是旋转类几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据旋转的性质可知，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得OC=CD，且旋转角∠OCD等于等边△ABC的内角∠ACB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△COD的形状；
(2) 先利用旋转的性质得到AD=OB、∠ADC=∠BOC的度数，再结合(1)中等边三角形的性质得到OD的长度和∠ODC的度数，进而求出∠ADO=90°得到直角三角形AOD，最后利用勾股定理即可求出OA的长度。
【解析】
(1) 由旋转的性质可得：OC=CD，∠OCD=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，即∠OCD=60°，
∴△COD是有一个角为60°的等腰三角形，为等边三角形。
(2) 由旋转的性质可得：$△ ADC ≌ △ BOC$，
$\therefore AD = OB = 5$，$CD = OC$，$∠ ADC = ∠ BOC = 150°$。
由(1)知$△ COD$是等边三角形，
$\therefore OD = OC = 3$，$∠ ODC = 60°$，
$\therefore ∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = 150° - 60° = 90°$，
即$△ AOD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
【答案】
(1) 等边；(2) $\sqrt{34}$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是熟练运用旋转的性质实现边和角的转化，构造直角三角形求解，是旋转类几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
19.(8分)如图,将$△ ABC$绕点C顺时针旋转得到$△ DEC$,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE.
(1)求证:$∠ A=∠ EBC$;
(2)若已知旋转角为$50°$,$∠ ACE=130°$,求$∠ CED$和$∠ BDE$的度数.
第19小题图
(1)求证:$∠ A=∠ EBC$;
(2)若已知旋转角为$50°$,$∠ ACE=130°$,求$∠ CED$和$∠ BDE$的度数.
第19小题图
答案
(1) 证明：
由旋转的性质可得：$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE$。
$\therefore ∠ A = ∠ ADC = \frac{1}{2}(180°-∠ ACD)$，
$∠ EBC = ∠ BEC = \frac{1}{2}(180°-∠ BCE)$，
$\because ∠ ACD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ A=∠ EBC$。
---
(2) 解：
$\because$ 旋转角为$50°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCE=50°$，$△ ABC ≌ △ DEC$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC$，$AC=DC$，
$\therefore ∠ A=∠ ADC = \frac{180°-∠ ACD}{2} = \frac{180°-50°}{2}=65°$。
$\because ∠ ACE=130°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACE - ∠ BCE = 130°-50°=80°$，
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-65°-80°=35°$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC=35°$。
由旋转性质得$∠ CDE=∠ A=65°$，
$\because$ 点$D$在边$AB$上，$∠ ADB=180°$，
$\therefore ∠ BDE=180°-∠ ADC-∠ CDE=180°-65°-65°=50°$。
综上，$∠ CED=35°$，$∠ BDE=50°$。
由旋转的性质可得：$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE$。
$\therefore ∠ A = ∠ ADC = \frac{1}{2}(180°-∠ ACD)$，
$∠ EBC = ∠ BEC = \frac{1}{2}(180°-∠ BCE)$，
$\because ∠ ACD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ A=∠ EBC$。
---
(2) 解：
$\because$ 旋转角为$50°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCE=50°$，$△ ABC ≌ △ DEC$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC$，$AC=DC$，
$\therefore ∠ A=∠ ADC = \frac{180°-∠ ACD}{2} = \frac{180°-50°}{2}=65°$。
$\because ∠ ACE=130°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACE - ∠ BCE = 130°-50°=80°$，
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-65°-80°=35°$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC=35°$。
由旋转性质得$∠ CDE=∠ A=65°$，
$\because$ 点$D$在边$AB$上，$∠ ADB=180°$，
$\therefore ∠ BDE=180°-∠ ADC-∠ CDE=180°-65°-65°=50°$。
综上，$∠ CED=35°$，$∠ BDE=50°$。
解析
【分析】
（1）要证明∠A=∠EBC，首先结合旋转的性质，可得旋转前后对应边相等、对应旋转角相等，即AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE，此时△ACD和△BCE均为等腰三角形，且顶角相等，根据等腰三角形底角的计算公式即可推出两个底角∠A与∠EBC相等。
（2）求角度时，首先根据旋转角为50°，确定∠ACD=∠BCE=50°，先利用等腰三角形内角和计算出∠A的度数；再结合∠ACE=130°，求出∠ACB的度数，进而在△ABC中用内角和定理算出∠ABC，由旋转全等的性质可得∠CED=∠ABC；最后根据平角的定义，用180°减去∠ADC和∠CDE的度数，即可得到∠BDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
由旋转的性质可得：$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE$。
$\therefore ∠ A = ∠ ADC = \frac{1}{2}(180°-∠ ACD)$，
$∠ EBC = ∠ BEC = \frac{1}{2}(180°-∠ BCE)$，
$\because ∠ ACD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ A=∠ EBC$。
(2) 解：
$\because$ 旋转角为$50°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCE=50°$，$△ ABC ≌ △ DEC$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC$，$AC=DC$，
$\therefore ∠ A=∠ ADC = \frac{180°-∠ ACD}{2} = \frac{180°-50°}{2}=65°$。
$\because ∠ ACE=130°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACE - ∠ BCE = 130°-50°=80°$，
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-65°-80°=35°$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC=35°$。
由旋转性质得$∠ CDE=∠ A=65°$，
$\because$ 点$D$在边$AB$上，$∠ ADB=180°$，
$\therefore ∠ BDE=180°-∠ ADC-∠ CDE=180°-65°-65°=50°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ CED=35°$，$∠ BDE=50°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可完成角度的推导和计算，解题时要注意梳理清楚各角度之间的数量关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠A=∠EBC，首先结合旋转的性质，可得旋转前后对应边相等、对应旋转角相等，即AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE，此时△ACD和△BCE均为等腰三角形，且顶角相等，根据等腰三角形底角的计算公式即可推出两个底角∠A与∠EBC相等。
（2）求角度时，首先根据旋转角为50°，确定∠ACD=∠BCE=50°，先利用等腰三角形内角和计算出∠A的度数；再结合∠ACE=130°，求出∠ACB的度数，进而在△ABC中用内角和定理算出∠ABC，由旋转全等的性质可得∠CED=∠ABC；最后根据平角的定义，用180°减去∠ADC和∠CDE的度数，即可得到∠BDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
由旋转的性质可得：$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE$。
$\therefore ∠ A = ∠ ADC = \frac{1}{2}(180°-∠ ACD)$，
$∠ EBC = ∠ BEC = \frac{1}{2}(180°-∠ BCE)$，
$\because ∠ ACD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ A=∠ EBC$。
(2) 解：
$\because$ 旋转角为$50°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCE=50°$，$△ ABC ≌ △ DEC$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC$，$AC=DC$，
$\therefore ∠ A=∠ ADC = \frac{180°-∠ ACD}{2} = \frac{180°-50°}{2}=65°$。
$\because ∠ ACE=130°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACE - ∠ BCE = 130°-50°=80°$，
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-65°-80°=35°$，
$\therefore ∠ CED=∠ ABC=35°$。
由旋转性质得$∠ CDE=∠ A=65°$，
$\because$ 点$D$在边$AB$上，$∠ ADB=180°$，
$\therefore ∠ BDE=180°-∠ ADC-∠ CDE=180°-65°-65°=50°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ CED=35°$，$∠ BDE=50°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可完成角度的推导和计算，解题时要注意梳理清楚各角度之间的数量关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
20.(8分)在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转一定的角度$α$得到$△ DEC$，点$A,B$的对应点分别是$D,E$.
(1)当点$E$恰好在$AC$上时，如图1，求$∠ ADE$的大小；
(2)若$α=60°$时，点$F$是边$AC$中点，如图2，求证：四边形$BEDF$是平行四边形.
第20小题图
(1)当点$E$恰好在$AC$上时，如图1，求$∠ ADE$的大小；
(2)若$α=60°$时，点$F$是边$AC$中点，如图2，求证：四边形$BEDF$是平行四边形.
第20小题图
答案
解：(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-30°=60°$。
由旋转的性质得：$CA=CD$，$∠ DCE=∠ ACB=30°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$。
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}(180°-∠ DCE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$。
$\because$ 点$E$在$AC$上，$∠ DEC=90°$，
$\therefore ∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADE=90°-∠ CAD=90°-75°=15°$。
(2) 证明：在$Rt△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，点$F$是$AC$中点，
$\therefore BF=AF=CF=\frac{1}{2}AC$，$AB=\frac{1}{2}AC$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore AB=BF=CF$。
由旋转的性质得：$DE=AB$，$CE=CB$，$DC=AC$，$∠ ACD=α=60°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$，
$\therefore DE=BF$。
在$△ CFD$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}CF=AB\\∠ FCD=∠ BAC=60°\\CD=AC\end{cases}$
$\therefore △ CFD ≌ △ ABC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=BC$。
由旋转性质知旋转角$∠ BCE=α=60°$，又$CE=CB$，
$\therefore △ BCE$是等边三角形，
$\therefore BE=BC$，
$\therefore DF=BE$。
$\because DE=BF$，$DF=BE$，
$\therefore$ 四边形$BEDF$两组对边分别相等，
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
$\therefore ∠ BAC=90°-30°=60°$。
由旋转的性质得：$CA=CD$，$∠ DCE=∠ ACB=30°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$。
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}(180°-∠ DCE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$。
$\because$ 点$E$在$AC$上，$∠ DEC=90°$，
$\therefore ∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADE=90°-∠ CAD=90°-75°=15°$。
(2) 证明：在$Rt△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，点$F$是$AC$中点，
$\therefore BF=AF=CF=\frac{1}{2}AC$，$AB=\frac{1}{2}AC$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore AB=BF=CF$。
由旋转的性质得：$DE=AB$，$CE=CB$，$DC=AC$，$∠ ACD=α=60°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$，
$\therefore DE=BF$。
在$△ CFD$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}CF=AB\\∠ FCD=∠ BAC=60°\\CD=AC\end{cases}$
$\therefore △ CFD ≌ △ ABC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=BC$。
由旋转性质知旋转角$∠ BCE=α=60°$，又$CE=CB$，
$\therefore △ BCE$是等边三角形，
$\therefore BE=BC$，
$\therefore DF=BE$。
$\because DE=BF$，$DF=BE$，
$\therefore$ 四边形$BEDF$两组对边分别相等，
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
解析
【分析】
（1）求解∠ADE的大小，可先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再结合旋转的性质得到CA=CD、∠DCE=∠ACB、∠DEC=∠ABC，进而求出等腰△CAD的底角∠CAD的度数，最后结合∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠ADE的度数。
（2）要证明四边形BEDF是平行四边形，可通过证明两组对边分别相等来推导：首先利用直角三角形斜边中线的性质得到BF=AB，结合旋转性质得DE=AB，即可得DE=BF；再通过证明△CFD≌△ABC得到DF=BC，结合旋转性质证明△BCE是等边三角形得到BE=BC，即可得DF=BE，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-30°=60°$。
由旋转的性质得：$CA=CD$，$∠ DCE=∠ ACB=30°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$。
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}(180°-∠ DCE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$。
$\because$ 点$E$在$AC$上，$∠ DEC=90°$，
$\therefore ∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADE=90°-∠ CAD=90°-75°=15°$。
(2) 证明：在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，点$F$是$AC$中点，
$\therefore BF=AF=CF=\frac{1}{2}AC$，$AB=\frac{1}{2}AC$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore AB=BF=CF$。
由旋转的性质得：$DE=AB$，$CE=CB$，$DC=AC$，$∠ ACD=α=60°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$，
$\therefore DE=BF$。
在$△ CFD$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}CF=AB\\∠ FCD=∠ BAC=60°\\CD=AC\end{cases}$
$\therefore △ CFD ≌ △ ABC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=BC$。
由旋转性质知旋转角$∠ BCE=α=60°$，又$CE=CB$，
$\therefore △ BCE$是等边三角形，
$\therefore BE=BC$，
$\therefore DF=BE$。
$\because DE=BF$，$DF=BE$，
$\therefore$ 四边形$BEDF$两组对边分别相等，
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$
(2) 四边形$BEDF$是平行四边形，证明如上。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转性质与三角形、平行四边形的判定结合考查，解题的关键是灵活运用旋转前后对应边、对应角相等的性质，合理转化边角关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠ADE的大小，可先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再结合旋转的性质得到CA=CD、∠DCE=∠ACB、∠DEC=∠ABC，进而求出等腰△CAD的底角∠CAD的度数，最后结合∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠ADE的度数。
（2）要证明四边形BEDF是平行四边形，可通过证明两组对边分别相等来推导：首先利用直角三角形斜边中线的性质得到BF=AB，结合旋转性质得DE=AB，即可得DE=BF；再通过证明△CFD≌△ABC得到DF=BC，结合旋转性质证明△BCE是等边三角形得到BE=BC，即可得DF=BE，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-30°=60°$。
由旋转的性质得：$CA=CD$，$∠ DCE=∠ ACB=30°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$。
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}(180°-∠ DCE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$。
$\because$ 点$E$在$AC$上，$∠ DEC=90°$，
$\therefore ∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADE=90°-∠ CAD=90°-75°=15°$。
(2) 证明：在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，点$F$是$AC$中点，
$\therefore BF=AF=CF=\frac{1}{2}AC$，$AB=\frac{1}{2}AC$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore AB=BF=CF$。
由旋转的性质得：$DE=AB$，$CE=CB$，$DC=AC$，$∠ ACD=α=60°$，$∠ DEC=∠ ABC=90°$，
$\therefore DE=BF$。
在$△ CFD$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}CF=AB\\∠ FCD=∠ BAC=60°\\CD=AC\end{cases}$
$\therefore △ CFD ≌ △ ABC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=BC$。
由旋转性质知旋转角$∠ BCE=α=60°$，又$CE=CB$，
$\therefore △ BCE$是等边三角形，
$\therefore BE=BC$，
$\therefore DF=BE$。
$\because DE=BF$，$DF=BE$，
$\therefore$ 四边形$BEDF$两组对边分别相等，
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$
(2) 四边形$BEDF$是平行四边形，证明如上。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转性质与三角形、平行四边形的判定结合考查，解题的关键是灵活运用旋转前后对应边、对应角相等的性质，合理转化边角关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
