登录
1.若$AB=12\ \mathrm{cm}$，过$A$，$B$两点画半径为$8\ \mathrm{cm}$的圆，则能画的圆的个数为。
答案
解：
要作过A、B两点且半径为8cm的圆，圆心需同时满足：
① 在线段AB的垂直平分线上；
② 到点A、点B的距离都等于8cm。
已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，则AB的中点到A的距离为$\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$。
因为$8\ \mathrm{cm}＞6\ \mathrm{cm}$，分别以A、B为圆心，8cm为半径画弧，两弧与AB的垂直平分线共有2个不同的交点，即符合要求的圆心共有2个。
因此能画的圆的个数为2。
要作过A、B两点且半径为8cm的圆，圆心需同时满足：
① 在线段AB的垂直平分线上；
② 到点A、点B的距离都等于8cm。
已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，则AB的中点到A的距离为$\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$。
因为$8\ \mathrm{cm}＞6\ \mathrm{cm}$，分别以A、B为圆心，8cm为半径画弧，两弧与AB的垂直平分线共有2个不同的交点，即符合要求的圆心共有2个。
因此能画的圆的个数为2。
2.已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,-1),B(-2,5),C(4,-6),则A,B,C这三个点(填“可以”或“不可以”)确定一个圆.
答案
可以
解析
解：设过点$A(1,-1)$、$B(-2,5)$的直线解析式为$y=kx+b$，
将A、B坐标代入得：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ -2k + b = 5 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=-2 \\ b=1 \end{cases}$
即直线$AB$的解析式为$y=-2x+1$。
将$x=4$代入解析式，得$y=-2×4 +1=-7$，
∵点$C$的坐标为$(4,-6)$，$-6≠-7$，
∴点$C$不在直线$AB$上，即$A$、$B$、$C$三点不在同一直线上，
根据不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，可知这三个点可以确定一个圆。
将A、B坐标代入得：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ -2k + b = 5 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=-2 \\ b=1 \end{cases}$
即直线$AB$的解析式为$y=-2x+1$。
将$x=4$代入解析式，得$y=-2×4 +1=-7$，
∵点$C$的坐标为$(4,-6)$，$-6≠-7$，
∴点$C$不在直线$AB$上，即$A$、$B$、$C$三点不在同一直线上，
根据不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，可知这三个点可以确定一个圆。
3.一块被打碎的圆形玻璃如图所示，若想要去店里配一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（填序号）。
答案
②
解析
解：要配出与原来大小一样的圆形玻璃，需要确定原圆的圆心和半径。根据不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，碎片②保留了一段足够长的圆弧，可在这段圆弧上取到不在同一直线上的三个点，通过作任意两条弦的垂直平分线，就能得到原圆的圆心和半径，复原出和原玻璃完全相同的圆，其余碎片无法满足该条件。
4.如图,点A,B,C在同一直线上,点M在直线AC外,经过图中的三个点作圆,可以作个.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：由不在同一直线上的三点确定一个圆可知：
从A、B、C、M四个点中任取三个点，共有4种组合：
1. 取点A、B、M：三点不共线，可作1个圆；
2. 取点A、C、M：三点不共线，可作1个圆；
3. 取点B、C、M：三点不共线，可作1个圆；
4. 取点A、B、C：三点在同一直线上，无法确定圆。
综上，可以作3个圆。
最终
从A、B、C、M四个点中任取三个点，共有4种组合：
1. 取点A、B、M：三点不共线，可作1个圆；
2. 取点A、C、M：三点不共线，可作1个圆；
3. 取点B、C、M：三点不共线，可作1个圆；
4. 取点A、B、C：三点在同一直线上，无法确定圆。
综上，可以作3个圆。
最终
5. 提升题 如图，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端$A,B$能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点$P$处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若$AB=26\ \mathrm{cm}$，则画出的圆的半径为cm.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
解：设两个互相垂直的滑槽的交点为点O，连接OP。
由题意得∠AOB=90°，即△AOB是直角三角形。
∵ P是AB的中点，AB=26 cm，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得
$OP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26=13\ \mathrm{cm}$。
滑动过程中点P到定点O的距离始终为定值13 cm，因此画出的圆的半径为13 cm。
由题意得∠AOB=90°，即△AOB是直角三角形。
∵ P是AB的中点，AB=26 cm，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得
$OP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26=13\ \mathrm{cm}$。
滑动过程中点P到定点O的距离始终为定值13 cm，因此画出的圆的半径为13 cm。
6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，若过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的圆心坐标是.
答案
解：由图可得点A、B、C的坐标分别为$A(0,2)$，$B(1,3)$，$C(3,3)$。
设圆弧所在圆的圆心坐标为$(x,y)$，根据圆的定义，圆心到A、B、C三点的距离相等，因此列方程：
$\begin{cases}x^2 + (y-2)^2 = (x-1)^2 + (y-3)^2 \\(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2\end{cases}$
解第二个方程：
$(x-1)^2=(x-3)^2$
展开得$x^2-2x+1=x^2-6x+9$，化简得$4x=8$，解得$x=2$。
将$x=2$代入第一个方程：
$2^2 + (y-2)^2 = (2-1)^2 + (y-3)^2$
展开得$4 + y^2 -4y +4 = 1 + y^2 -6y +9$，化简得$2y=2$，解得$y=1$。
因此此圆弧所在圆的圆心坐标是$\boldsymbol{(2,1)}$。
设圆弧所在圆的圆心坐标为$(x,y)$，根据圆的定义，圆心到A、B、C三点的距离相等，因此列方程：
$\begin{cases}x^2 + (y-2)^2 = (x-1)^2 + (y-3)^2 \\(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2\end{cases}$
解第二个方程：
$(x-1)^2=(x-3)^2$
展开得$x^2-2x+1=x^2-6x+9$，化简得$4x=8$，解得$x=2$。
将$x=2$代入第一个方程：
$2^2 + (y-2)^2 = (2-1)^2 + (y-3)^2$
展开得$4 + y^2 -4y +4 = 1 + y^2 -6y +9$，化简得$2y=2$，解得$y=1$。
因此此圆弧所在圆的圆心坐标是$\boldsymbol{(2,1)}$。
7.如图，已知直线a和直线外的两点A，B，经过A，B两点作一个圆，使它的圆心在直线a上。
答案
解：
作法：
1. 连接AB；
2. 作线段AB的垂直平分线，交直线a于点O；
3. 以点O为圆心，OA（或OB）的长为半径作圆。
则⊙O就是所求作的圆。
作法：
1. 连接AB；
2. 作线段AB的垂直平分线，交直线a于点O；
3. 以点O为圆心，OA（或OB）的长为半径作圆。
则⊙O就是所求作的圆。
8.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,9),B(2,3),C(3,2),D(9,2)均在$\odot P$上.
(1)在图中标出点P的位置；
(2)点P的坐标是.
(1)在图中标出点P的位置；
(2)点P的坐标是.
答案
解：
(1) 分别作弦AB、CD的垂直平分线：
由A(2,9)、B(2,3)可知AB平行于y轴，AB的中点为(2,6)，因此AB的垂直平分线为直线$y=6$；
由C(3,2)、D(9,2)可知CD平行于x轴，CD的中点为(6,2)，因此CD的垂直平分线为直线$x=6$；
两条直线的交点即为点P，在图中坐标为(6,6)的位置标注点P即可。
(2) $\boldsymbol{(6,6)}$
(1) 分别作弦AB、CD的垂直平分线：
由A(2,9)、B(2,3)可知AB平行于y轴，AB的中点为(2,6)，因此AB的垂直平分线为直线$y=6$；
由C(3,2)、D(9,2)可知CD平行于x轴，CD的中点为(6,2)，因此CD的垂直平分线为直线$x=6$；
两条直线的交点即为点P，在图中坐标为(6,6)的位置标注点P即可。
(2) $\boldsymbol{(6,6)}$
