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1.如图所示,第一行摆1个圆片,第二行摆3个圆片,第三行摆5个圆片,照这样摆下去,第n行摆(
2n-1
)个圆片。如果最后一行摆了99个圆片,那么一共摆了(50
)行。答案
第n行摆2n−1个圆片。如果最后一行摆了99个圆片，那么一共摆了50行。
解析
【分析】
首先观察已知的前三行圆片数量：第1行1个，第2行3个，第3行5个，我们将行数和对应圆片数做运算对比，发现每行圆片数都等于“2乘行数减1”，由此可以推出第n行的圆片数表达式。当已知最后一行圆片数是99个时，把99代入表达式，解出n的数值就是总行数。
【解析】
第一步：找规律推导第n行的圆片数
第1行：圆片数=1=2×1-1
第2行：圆片数=3=2×2-1
第3行：圆片数=5=2×3-1
依此类推，第n行的圆片数=2n-1。
第二步：计算摆99个圆片时的行数
已知某行圆片数是99，代入表达式得：
2n - 1 = 99
先计算2n = 99 + 1 = 100
再计算n = 100 ÷ 2 = 50
所以一共摆了50行。
【答案】
第n行摆2n−1个圆片。如果最后一行摆了99个圆片，那么一共摆了50行。
【知识点】
图形找规律、简易方程应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生通过观察几组已知数据总结通用规律，再结合规律求解对应问题，能有效锻炼学生的观察归纳能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察已知的前三行圆片数量：第1行1个，第2行3个，第3行5个，我们将行数和对应圆片数做运算对比，发现每行圆片数都等于“2乘行数减1”，由此可以推出第n行的圆片数表达式。当已知最后一行圆片数是99个时，把99代入表达式，解出n的数值就是总行数。
【解析】
第一步：找规律推导第n行的圆片数
第1行：圆片数=1=2×1-1
第2行：圆片数=3=2×2-1
第3行：圆片数=5=2×3-1
依此类推，第n行的圆片数=2n-1。
第二步：计算摆99个圆片时的行数
已知某行圆片数是99，代入表达式得：
2n - 1 = 99
先计算2n = 99 + 1 = 100
再计算n = 100 ÷ 2 = 50
所以一共摆了50行。
【答案】
第n行摆2n−1个圆片。如果最后一行摆了99个圆片，那么一共摆了50行。
【知识点】
图形找规律、简易方程应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生通过观察几组已知数据总结通用规律，再结合规律求解对应问题，能有效锻炼学生的观察归纳能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 求线段的长度。(单位:cm)
(1)线段AC长(
(2)线段BE长(
(3)线段CE比AC长(
(1)线段AC长(
2+a
)cm。(2)线段BE长(
a+b+3
)cm。(3)线段CE比AC长(
b-a+1
)cm。答案
(1)线段AC长2+a cm。
(2)线段BE长a+b+3 cm。
(3)线段CE比AC长b-a+1 cm。
解析
【分析】
解题时首先明确各段线段的组成：线段AE被分为AB、BC、CD、DE四小段，长度分别为2cm、a cm、b cm、3cm。（1）求AC的长度，观察可得AC由AB和BC两段组成，将两段长度相加即可；（2）求BE的长度，BE由BC、CD、DE三段组成，将三段长度相加即可；（3）先求出CE的长度（CE由CD和DE组成），再用CE的长度减去AC的长度，化简后得到结果。
【解析】
（1）线段AC的长度是AB段与BC段的长度和：
$AC=AB+BC=2+a$（cm）
（2）线段BE的长度是BC段、CD段与DE段的长度和：
$BE=BC+CD+DE=a+b+3$（cm）
（3）先计算线段CE的长度：
$CE=CD+DE=b+3$（cm）
再计算CE比AC长的长度：
$CE-AC=(b+3)-(2+a)=b+3-2-a=b-a+1$（cm）
【答案】
(1) $2+a$
(2) $a+b+3$
(3) $b-a+1$
【知识点】
线段和差计算，用字母表示数，含字母的式子化简
【点评】
本题侧重考察对线段构成的识别能力和用字母表示数量关系的运算能力，只要准确拆分所求线段对应的各小段，按照加减法的意义列式计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确各段线段的组成：线段AE被分为AB、BC、CD、DE四小段，长度分别为2cm、a cm、b cm、3cm。（1）求AC的长度，观察可得AC由AB和BC两段组成，将两段长度相加即可；（2）求BE的长度，BE由BC、CD、DE三段组成，将三段长度相加即可；（3）先求出CE的长度（CE由CD和DE组成），再用CE的长度减去AC的长度，化简后得到结果。
【解析】
（1）线段AC的长度是AB段与BC段的长度和：
$AC=AB+BC=2+a$（cm）
（2）线段BE的长度是BC段、CD段与DE段的长度和：
$BE=BC+CD+DE=a+b+3$（cm）
（3）先计算线段CE的长度：
$CE=CD+DE=b+3$（cm）
再计算CE比AC长的长度：
$CE-AC=(b+3)-(2+a)=b+3-2-a=b-a+1$（cm）
【答案】
(1) $2+a$
(2) $a+b+3$
(3) $b-a+1$
【知识点】
线段和差计算，用字母表示数，含字母的式子化简
【点评】
本题侧重考察对线段构成的识别能力和用字母表示数量关系的运算能力，只要准确拆分所求线段对应的各小段，按照加减法的意义列式计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示，一共有多少个角？
答案
$\frac{(1+n)n}{2}$(个)
解析
【分析】
数角时我们要按照有序分类的方法，避免漏数或重复数。我们可以先从简单情况找规律：如果只有1个最小的基本角，总角数是1；如果有2个基本角，总角数是2+1=3；如果有3个基本角，总角数是3+2+1=6。可以发现，当图中有n个最小的基本角时，总角数就是从1连续加到n的和，再用简便方法计算这个和即可。
【解析】
首先数最小的基本角，一共有n个；
再数由2个基本角拼成的角，有n-1个；
由3个基本角拼成的角，有n-2个；
……
最后由n个基本角拼成的最大的角，有1个。
将所有角的数量相加，总个数 = n + (n-1) + (n-2) + …… + 2 + 1
用首尾配对的方法计算：把n和1配对、n-1和2配对……每对的和都是n+1，总共有n÷2对，所以总和为$\frac{(n+1)n}{2}$。
【答案】
$\frac{(1+n)n}{2}$(个)
【知识点】
角的计数、找规律、加法简便计算
【点评】
本题考查有序计数的思维，需要按照分类标准逐个计数，通过寻找规律可以快速得到结果，避免数角时出现遗漏或重复的问题。
【难度系数】
0.7
数角时我们要按照有序分类的方法，避免漏数或重复数。我们可以先从简单情况找规律：如果只有1个最小的基本角，总角数是1；如果有2个基本角，总角数是2+1=3；如果有3个基本角，总角数是3+2+1=6。可以发现，当图中有n个最小的基本角时，总角数就是从1连续加到n的和，再用简便方法计算这个和即可。
【解析】
首先数最小的基本角，一共有n个；
再数由2个基本角拼成的角，有n-1个；
由3个基本角拼成的角，有n-2个；
……
最后由n个基本角拼成的最大的角，有1个。
将所有角的数量相加，总个数 = n + (n-1) + (n-2) + …… + 2 + 1
用首尾配对的方法计算：把n和1配对、n-1和2配对……每对的和都是n+1，总共有n÷2对，所以总和为$\frac{(n+1)n}{2}$。
【答案】
$\frac{(1+n)n}{2}$(个)
【知识点】
角的计数、找规律、加法简便计算
【点评】
本题考查有序计数的思维，需要按照分类标准逐个计数，通过寻找规律可以快速得到结果，避免数角时出现遗漏或重复的问题。
【难度系数】
0.7
4.某辆出租车的收费标准是3 km及以内起步价10元，超过3 km的部分，每千米c元（不足1 km，按1 km计费）。
这辆出租车行驶10.5 km应收费多少元？
这辆出租车行驶10.5 km应收费多少元？
答案
10+(11-3)c=10+8c(元)
解析
【分析】
解决这道题首先要明确出租车的两段收费规则：①3km及以内固定收10元起步价；②超过3km的部分每千米收c元，且不足1km按1km计费。解题思路分为三步：第一步先根据计费规则，把实际行驶的10.5km换算为符合要求的整数计费里程；第二步计算超出3km的里程长度，再乘每千米c元的单价，算出超出部分的总费用；第三步将起步价和超出部分的费用相加，即可得到总收费。
【解析】
1. 换算计费里程：因为不足1km按1km计费，10.5km中的0.5km需按1km计算，所以实际计费里程为11km。
2. 计算超出3km的里程：$ 11 - 3 = 8 $（km）
3. 计算超出部分的费用：$ 8 × c = 8c $（元）
4. 计算总费用：总费用=起步价+超出部分费用，列综合算式为 $ 10 + (11 - 3)c = 10 + 8c $（元）
【答案】
$ 10+8c $元
【知识点】
分段计费问题，用字母表示数
【点评】
本题考查分段计费的实际应用，解题核心是先按规则换算实际计费里程，再拆分两部分费用分别计算后求和，需注意用字母表示数的书写规范。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确出租车的两段收费规则：①3km及以内固定收10元起步价；②超过3km的部分每千米收c元，且不足1km按1km计费。解题思路分为三步：第一步先根据计费规则，把实际行驶的10.5km换算为符合要求的整数计费里程；第二步计算超出3km的里程长度，再乘每千米c元的单价，算出超出部分的总费用；第三步将起步价和超出部分的费用相加，即可得到总收费。
【解析】
1. 换算计费里程：因为不足1km按1km计费，10.5km中的0.5km需按1km计算，所以实际计费里程为11km。
2. 计算超出3km的里程：$ 11 - 3 = 8 $（km）
3. 计算超出部分的费用：$ 8 × c = 8c $（元）
4. 计算总费用：总费用=起步价+超出部分费用，列综合算式为 $ 10 + (11 - 3)c = 10 + 8c $（元）
【答案】
$ 10+8c $元
【知识点】
分段计费问题，用字母表示数
【点评】
本题考查分段计费的实际应用，解题核心是先按规则换算实际计费里程，再拆分两部分费用分别计算后求和，需注意用字母表示数的书写规范。
【难度系数】
0.7
5.想一想，算一算。
(1)数到21时，应数到哪个手指？
(2)数到49时，应数到哪个手指？
(3)中指上的第n个数是多少？
(1)数到21时，应数到哪个手指？
(2)数到49时，应数到哪个手指？
(3)中指上的第n个数是多少？
答案
(1)21÷8=2(组)……5(个)
数到大拇指。
(2)49÷8=6(组)……1(个)
数到小指。
(3)4n−1
解析
【分析】
首先观察计数规律：从1开始按手指计数，每8个数为一个循环周期，每个周期内的数对应的手指顺序固定。解决前两问时，用要判断的数除以8，根据余数就能对应找到对应的手指；解决第三问时，先列出中指上的前几个数，观察数字变化规律，归纳出第n个数的表达式即可。
【解析】
先明确周期规律：计数从1开始，周期为8，每个周期内余数和手指的对应关系为：余数1对应小指，余数2对应无名指，余数3对应中指，余数4对应食指，余数5对应大拇指，余数6对应食指，余数7对应中指，无余数（整除）对应无名指。
(1) 计算21除以8：
$21÷8=2(\mathrm{组})\dots\dots5(\mathrm{个})$
余数为5，对应大拇指。
(2) 计算49除以8：
$49÷8=6(\mathrm{组})\dots\dots1(\mathrm{个})$
余数为1，对应小指。
(3) 观察中指上的数：第1个是3，第2个是7，第3个是11，相邻两个数的差是4，因此第n个数为$3+4(n-1)=4n-1$。
【答案】
(1)大拇指
(2)小指
(3)$4n-1$
【知识点】
周期问题，找规律，代数式表示
【点评】
本题需要先观察出计数的周期规律，结合余数判断对应位置，再通过归纳推理得到通用表达式，能很好地锻炼观察能力、逻辑推理能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
首先观察计数规律：从1开始按手指计数，每8个数为一个循环周期，每个周期内的数对应的手指顺序固定。解决前两问时，用要判断的数除以8，根据余数就能对应找到对应的手指；解决第三问时，先列出中指上的前几个数，观察数字变化规律，归纳出第n个数的表达式即可。
【解析】
先明确周期规律：计数从1开始，周期为8，每个周期内余数和手指的对应关系为：余数1对应小指，余数2对应无名指，余数3对应中指，余数4对应食指，余数5对应大拇指，余数6对应食指，余数7对应中指，无余数（整除）对应无名指。
(1) 计算21除以8：
$21÷8=2(\mathrm{组})\dots\dots5(\mathrm{个})$
余数为5，对应大拇指。
(2) 计算49除以8：
$49÷8=6(\mathrm{组})\dots\dots1(\mathrm{个})$
余数为1，对应小指。
(3) 观察中指上的数：第1个是3，第2个是7，第3个是11，相邻两个数的差是4，因此第n个数为$3+4(n-1)=4n-1$。
【答案】
(1)大拇指
(2)小指
(3)$4n-1$
【知识点】
周期问题，找规律，代数式表示
【点评】
本题需要先观察出计数的周期规律，结合余数判断对应位置，再通过归纳推理得到通用表达式，能很好地锻炼观察能力、逻辑推理能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
