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1. PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，点C在$\odot O$上，不与点A，B重合. 若$∠ P=80°$，则$∠ ACB$的度数为（
A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
D
）A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先连接圆心与切点，利用切线的性质得到两个直角，再通过四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数；由于点C的位置未明确，需分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论，分别结合圆周角定理、圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=80°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°。
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°；
②当点C在劣弧AB上时，此时A、B、C与优弧AB上的点可构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得
∠ACB=180°-50°=130°。
综上，∠ACB的度数为50°或130°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题易因忽略点C的位置分类而漏解，解题时需注意未明确点在圆上的位置时，要考虑点在优弧、劣弧两种情况，综合运用圆的相关性质求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先连接圆心与切点，利用切线的性质得到两个直角，再通过四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数；由于点C的位置未明确，需分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论，分别结合圆周角定理、圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=80°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°。
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°；
②当点C在劣弧AB上时，此时A、B、C与优弧AB上的点可构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得
∠ACB=180°-50°=130°。
综上，∠ACB的度数为50°或130°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题易因忽略点C的位置分类而漏解，解题时需注意未明确点在圆上的位置时，要考虑点在优弧、劣弧两种情况，综合运用圆的相关性质求解。
【难度系数】
0.6
2. 如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE。若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.B
解析
【分析】
首先利用正方形四边相等、四个角为直角的性质，设$AF=BG=CH=DE=x$，可得$Rt△ AEF$的两条直角边分别为$x$和$17-x$，结合$EF=13$用勾股定理列方程求出$x$的取值；再判断$△ GCH$为直角三角形，得到它的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可。
【解析】
解：设$AF=BG=CH=DE=x$，
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=17$，
∴$∠ A=∠ C=90°$，$AB=BC=CD=AD=17$，
∴$AE=AD-DE=17-x$，$GC=BC-BG=17-x$，
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF^2 + AE^2 = EF^2$
代入数据得：$x^2 + (17-x)^2 = 13^2$
整理得：$x^2 -17x +60=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=12$
∵$△ GCH$是直角三角形，两条直角边为$CH=x$、$GC=17-x$，
∴两条直角边长为5和12，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=13$，
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入得：
$r=\frac{5+12-13}{2}=2$
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；直角三角形内切圆计算
【点评】
本题结合正方形和直角三角形的性质考查计算能力，解题的关键是先通过勾股定理求出直角三角形的边长，再代入内切圆公式求解，计算难度不大。
【难度系数】
0.6
首先利用正方形四边相等、四个角为直角的性质，设$AF=BG=CH=DE=x$，可得$Rt△ AEF$的两条直角边分别为$x$和$17-x$，结合$EF=13$用勾股定理列方程求出$x$的取值；再判断$△ GCH$为直角三角形，得到它的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可。
【解析】
解：设$AF=BG=CH=DE=x$，
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=17$，
∴$∠ A=∠ C=90°$，$AB=BC=CD=AD=17$，
∴$AE=AD-DE=17-x$，$GC=BC-BG=17-x$，
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF^2 + AE^2 = EF^2$
代入数据得：$x^2 + (17-x)^2 = 13^2$
整理得：$x^2 -17x +60=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=12$
∵$△ GCH$是直角三角形，两条直角边为$CH=x$、$GC=17-x$，
∴两条直角边长为5和12，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=13$，
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入得：
$r=\frac{5+12-13}{2}=2$
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；直角三角形内切圆计算
【点评】
本题结合正方形和直角三角形的性质考查计算能力，解题的关键是先通过勾股定理求出直角三角形的边长，再代入内切圆公式求解，计算难度不大。
【难度系数】
0.6
3. 如图，将正五边形绕着它的中心O旋转$n°$（$0＜n＜360$）后，能够与原来的图形完全重合，则$n$的值可以是
72(答案不唯一)
.(写出一个符合题意的数即可)答案
3.72(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决正五边形绕中心旋转后与自身重合的问题，首先回忆正多边形的旋转对称性质：正n边形绕中心旋转的角度为周角除以n的整数倍时，就能与原图形重合。我们先计算正五边形的最小旋转角，再结合0＜n＜360的范围选取符合条件的数值即可。
【解析】
正五边形的中心角为：$\frac{360°}{5}=72°$，
根据旋转对称图形的性质，只要旋转角度是72°的正整数倍，且满足$0＜n＜360$，旋转后正五边形就能和原图形完全重合，
因此n可以取72（也可选取144、216、288，任选一个即可）。
【答案】
72（答案不唯一）
【知识点】
正多边形的性质；旋转对称图形
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形旋转重合的条件，解题关键是明确正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$，只要旋转角度是最小旋转角的整数倍即可与原图形重合。
【难度系数】
0.8
要解决正五边形绕中心旋转后与自身重合的问题，首先回忆正多边形的旋转对称性质：正n边形绕中心旋转的角度为周角除以n的整数倍时，就能与原图形重合。我们先计算正五边形的最小旋转角，再结合0＜n＜360的范围选取符合条件的数值即可。
【解析】
正五边形的中心角为：$\frac{360°}{5}=72°$，
根据旋转对称图形的性质，只要旋转角度是72°的正整数倍，且满足$0＜n＜360$，旋转后正五边形就能和原图形完全重合，
因此n可以取72（也可选取144、216、288，任选一个即可）。
【答案】
72（答案不唯一）
【知识点】
正多边形的性质；旋转对称图形
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形旋转重合的条件，解题关键是明确正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$，只要旋转角度是最小旋转角的整数倍即可与原图形重合。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$\odot O$ 是地球的平面示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB = ∠ FOB = 23.5°$. 夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角$∠ IFH$（即平行于GD的光线HF与$\odot O$的切线FI所成的锐角）的度数为
$43°$
.答案
4.$43°$
解析
【分析】解题时先从切线的性质入手：圆的切线垂直于过切点的半径，可先得到OF与FI垂直；再结合太阳光线互相平行的条件，得到HF与OD平行，通过已知角计算出∠DOF的度数，最后结合直角的关系即可求出∠IFH的大小。
【解析】
1. 因为FI是$\odot O$的切线，F为切点，根据切线的性质可得：$OF ⊥ FI$，即$∠ OFI = 90°$。
2. 由题意知太阳光线GD与HF互相平行，且GD过圆心O，因此$HF // OD$。
3. 已知$∠ DOB = 23.5°$，$∠ FOB = 23.5°$，因此$∠ DOF = ∠ DOB + ∠ FOB = 23.5° + 23.5° = 47°$。
4. 因为$HF // OD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ OFH = ∠ DOF = 47°$。
5. 结合$∠ OFI = ∠ OFH + ∠ IFH = 90°$，可得$∠ IFH = 90° - ∠ OFH = 90° - 47° = 43°$。
【答案】$43°$
【知识点】切线的性质，平行线的性质，角度计算
【点评】本题结合生活中的太阳高度角场景考查几何基础性质的应用，解题关键是将实际问题转化为几何角度关系，熟练运用切线、平行线的相关性质推导角度关系。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 因为FI是$\odot O$的切线，F为切点，根据切线的性质可得：$OF ⊥ FI$，即$∠ OFI = 90°$。
2. 由题意知太阳光线GD与HF互相平行，且GD过圆心O，因此$HF // OD$。
3. 已知$∠ DOB = 23.5°$，$∠ FOB = 23.5°$，因此$∠ DOF = ∠ DOB + ∠ FOB = 23.5° + 23.5° = 47°$。
4. 因为$HF // OD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ OFH = ∠ DOF = 47°$。
5. 结合$∠ OFI = ∠ OFH + ∠ IFH = 90°$，可得$∠ IFH = 90° - ∠ OFH = 90° - 47° = 43°$。
【答案】$43°$
【知识点】切线的性质，平行线的性质，角度计算
【点评】本题结合生活中的太阳高度角场景考查几何基础性质的应用，解题关键是将实际问题转化为几何角度关系，熟练运用切线、平行线的相关性质推导角度关系。
【难度系数】0.7
5. 如图，已知$\odot P$的半径为1，圆心P在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -1$上运动，当$\odot P$与x轴相切时，则所有符合条件的点P的坐标为
$(-2,\ 1),\ (2,\ 1),\ (0,\ -1)$
。答案
5.$(-2,\ 1),\ (2,\ 1),\ (0,\ -1)$
解析
【分析】
解题时先回忆圆与直线相切的性质：圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆的半径。已知⊙P半径为1，因此圆心P的纵坐标的绝对值为1，即y=1或y=-1。再结合圆心P在抛物线上，将y的两个取值分别代入抛物线解析式，求解对应的x值，即可得到点P的所有坐标，注意不要漏解。
【解析】
∵⊙P与x轴相切，半径为1
∴圆心P到x轴的距离等于半径，即$|y_P|=1$
分两种情况讨论：
① 当$y_P=1$时，将$y=1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$1=\frac{1}{2}x^2 -1$
移项整理得：$\frac{1}{2}x^2=2$，即$x^2=4$
解得：$x=±2$
此时点P的坐标为$(2,1)$、$(-2,1)$
② 当$y_P=-1$时，将$y=-1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$-1=\frac{1}{2}x^2 -1$
整理得：$\frac{1}{2}x^2=0$
解得：$x=0$
此时点P的坐标为$(0,-1)$
综上，即可得到所有符合条件的点P的坐标。
【答案】
$(-2,\ 1),\ (2,\ 1),\ (0,\ -1)$
【知识点】
直线与圆的位置关系；二次函数的图象与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题结合圆的切线性质和二次函数解析式求点坐标，解题关键是明确圆与x轴相切时圆心纵坐标与半径的关系，解题时需注意分情况讨论纵坐标的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆与直线相切的性质：圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆的半径。已知⊙P半径为1，因此圆心P的纵坐标的绝对值为1，即y=1或y=-1。再结合圆心P在抛物线上，将y的两个取值分别代入抛物线解析式，求解对应的x值，即可得到点P的所有坐标，注意不要漏解。
【解析】
∵⊙P与x轴相切，半径为1
∴圆心P到x轴的距离等于半径，即$|y_P|=1$
分两种情况讨论：
① 当$y_P=1$时，将$y=1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$1=\frac{1}{2}x^2 -1$
移项整理得：$\frac{1}{2}x^2=2$，即$x^2=4$
解得：$x=±2$
此时点P的坐标为$(2,1)$、$(-2,1)$
② 当$y_P=-1$时，将$y=-1$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -1$，得：
$-1=\frac{1}{2}x^2 -1$
整理得：$\frac{1}{2}x^2=0$
解得：$x=0$
此时点P的坐标为$(0,-1)$
综上，即可得到所有符合条件的点P的坐标。
【答案】
$(-2,\ 1),\ (2,\ 1),\ (0,\ -1)$
【知识点】
直线与圆的位置关系；二次函数的图象与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题结合圆的切线性质和二次函数解析式求点坐标，解题关键是明确圆与x轴相切时圆心纵坐标与半径的关系，解题时需注意分情况讨论纵坐标的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB$，$BC$，$CA$的长分别为$c$，$a$，$b$.
（1）求作$△ ABC$的内切圆$\odot O$；（尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
（2）用含$a$，$b$，$c$的代数式表示$△ ABC$的内切圆半径$r$.
（1）求作$△ ABC$的内切圆$\odot O$；（尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
（2）用含$a$，$b$，$c$的代数式表示$△ ABC$的内切圆半径$r$.
答案
6. 解：(1)如图，$\odot O$即为所作。
(2)$r=\frac{a+b-c}{2}$。
解析
【分析】
（1）要作三角形的内切圆，首先明确内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线交点，半径是圆心到三角形任意一边的垂线段长度。因此只需作出$△ ABC$两个内角的角平分线，交点即为圆心$O$，再过$O$作一边的垂线得到半径，以$O$为圆心、该半径长为半径画圆即可。
（2）求直角三角形内切圆半径，可利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。将三角形各边被切点分成的线段用$a、b、c、r$表示，结合$AB$边长为$c$建立等量关系，整理即可得到$r$的表达式。
【解析】
（1）作图结果如下，$\odot O$即为所求作的内切圆。
（2）设$\odot O$与$AB$、$BC$、$AC$分别切于点$D$、$E$、$F$，连接$OE$、$OF$。
∵ $∠ C=90°$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，
∴ 四边形$OECF$是矩形，
又
∵ $OE=OF=r$，
∴ 四边形$OECF$是正方形，因此$CE=CF=r$。
根据切线长定理可得：$AF=AD=b - r$，$BE=BD=a - r$。
∵ $AD + BD = AB = c$，
∴ $(b - r)+(a - r)=c$，
整理得：$a + b - 2r = c$，
解得$r=\frac{a+b-c}{2}$。
【答案】
(1)
(2) $r=\frac{a+b-c}{2}$
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 切线长定理
3. 直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，既考查了尺规作图的实操能力，又考查了切线长定理的应用，需要理解内切圆的性质，灵活运用定理推导相关公式。
【难度系数】
0.7
（1）要作三角形的内切圆，首先明确内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线交点，半径是圆心到三角形任意一边的垂线段长度。因此只需作出$△ ABC$两个内角的角平分线，交点即为圆心$O$，再过$O$作一边的垂线得到半径，以$O$为圆心、该半径长为半径画圆即可。
（2）求直角三角形内切圆半径，可利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。将三角形各边被切点分成的线段用$a、b、c、r$表示，结合$AB$边长为$c$建立等量关系，整理即可得到$r$的表达式。
【解析】
（1）作图结果如下，$\odot O$即为所求作的内切圆。
（2）设$\odot O$与$AB$、$BC$、$AC$分别切于点$D$、$E$、$F$，连接$OE$、$OF$。
∵ $∠ C=90°$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，
∴ 四边形$OECF$是矩形，
又
∵ $OE=OF=r$，
∴ 四边形$OECF$是正方形，因此$CE=CF=r$。
根据切线长定理可得：$AF=AD=b - r$，$BE=BD=a - r$。
∵ $AD + BD = AB = c$，
∴ $(b - r)+(a - r)=c$，
整理得：$a + b - 2r = c$，
解得$r=\frac{a+b-c}{2}$。
【答案】
(1)
(2) $r=\frac{a+b-c}{2}$
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 切线长定理
3. 直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，既考查了尺规作图的实操能力，又考查了切线长定理的应用，需要理解内切圆的性质，灵活运用定理推导相关公式。
【难度系数】
0.7
