24. (★★★) 已知AB为$\odot O$的直径，AC为$\odot O$的弦，D为$\odot O$上异于A，C的一点.
(1) 如图①，若$∠ BAC = 40°$，则$∠ ADC$的度数为；
(2) 如图②，若$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ ADC = 130°$，则$∠ DAB$的度数为；
(3) 如图③，若$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$DE ⊥ AC$交AC于点E，且$DE=2$，$AC=6$，则AB的长为；
(4) 如图④，若$OD // BC$，求证：$AD=CD$.

(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{65°}$；(3) $\boldsymbol{\frac{13}{2}}$

【分析】
本题围绕圆的基本性质设置问题，解题思路清晰：
(1) 先利用直径所对圆周角为直角求出∠ABC，再根据同弧所对圆周角相等得到∠ADC的度数；
(2) 先由圆内接四边形对角互补求出∠ABC，得到劣弧AC的度数，结合等弧的性质得到弧CD的度数，再根据圆周角定理计算∠DAB；
(3) 由等弧性质可知OD垂直平分AC，设半径为r，圆心O到AC的距离为x，结合勾股定理和DE的长度列方程求出半径，即可得到AB的长；
(4) 先利用直径所对圆周角为直角得到BC⊥AC，结合平行线性质推出OD⊥AC，再根据垂径定理得到弧AD=弧CD，即可证明AD=CD。
【解析】
(1) 连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=40°$，
∴$∠ ABC=90°-40°=50°$，
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧AC所对的圆周角，
∴$∠ ADC=∠ ABC=50°$。
(2)
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ ADC+∠ ABC=180°$，
∵$∠ ADC=130°$，
∴$∠ ABC=50°$，则劣弧AC的度数为$2×50°=100°$，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=50°$，劣弧BC的度数为$180°-100°=80°$，
∴劣弧BCD的度数为$80°+50°=130°$，
∵$∠ DAB$是弧BCD所对的圆周角，
∴$∠ DAB=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(3) 过O作$OF⊥ AC$于F，连接OC，
∵$OF⊥ AC$，$AC=6$，
∴$AF=FC=3$，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴OD垂直平分AC，即D、E、F、O四点共线，
设$\odot O$半径为r，$OF=x$，
∵D和O分别在AC两侧，$DE=2$，
∴$r=x+2$，
在$Rt△ OFC$中，$OC^2=OF^2+FC^2$，即$r^2=x^2+3^2$，
将$r=x+2$代入得：$(x+2)^2=x^2+9$，解得$x=\frac{5}{4}$，
∴$r=\frac{5}{4}+2=\frac{13}{4}$，
∴$AB=2r=\frac{13}{2}$。
(4) 证明：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，
∵$OD// BC$，
∴$OD⊥ AC$，
又
∵OD是$\odot O$的半径，根据垂径定理，OD平分弧AC，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$AD=CD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{65°}$；(3) $\boldsymbol{\frac{13}{2}}$；(4) 证明如上。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，覆盖了圆的核心考点，要求学生能熟练将弧、弦、圆周角的关系结合勾股定理、平行线性质解题，是圆章节的典型训练题。
【难度系数】
0.6