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8.如图是小华同学设计的一个运算程序。
(1)若输入的数$x=2$，则输出的结果是；
(2)若输出的结果是0且没有返回运算，求输入的数$x$的值。
(1)若输入的数$x=2$，则输出的结果是；
(2)若输出的结果是0且没有返回运算，求输入的数$x$的值。
答案
解：
(1) 当输入$x=2$时：
第一步：计算$2^2 - 1 = 3$，3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{3} ＜ \sqrt{5}$，取$\sqrt{3}$的平方得3，将3作为新的输入返回运算。
第二步：输入$x=3$，计算$3^2 - 1 = 8$，8的算术平方根为$\sqrt{8}$。
因为$\sqrt{8} ＞ \sqrt{5}$，所以$\sqrt{8} - \sqrt{6} = 2\sqrt{2} - \sqrt{6}$。
故输出结果为$\boldsymbol{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$。
(2) 由输出结果是0且没有返回运算，可知求完算术平方根后，该数大于$\sqrt{5}$，减去$\sqrt{6}$后结果为0。
列等式得：
$\sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{6} = 0$
移项得：
$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{6}$
两边平方得：
$x^2 - 1 = 6$
整理得：
$x^2 = 7$
验证：$\sqrt{x^2 - 1}=\sqrt{6}＞\sqrt{5}$，符合无返回运算的要求，且$x^2-1=6≥0$满足算术平方根的被开方数非负条件。
所以输入的数$x$的值为$\sqrt{7}$。
(1) 当输入$x=2$时：
第一步：计算$2^2 - 1 = 3$，3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{3} ＜ \sqrt{5}$，取$\sqrt{3}$的平方得3，将3作为新的输入返回运算。
第二步：输入$x=3$，计算$3^2 - 1 = 8$，8的算术平方根为$\sqrt{8}$。
因为$\sqrt{8} ＞ \sqrt{5}$，所以$\sqrt{8} - \sqrt{6} = 2\sqrt{2} - \sqrt{6}$。
故输出结果为$\boldsymbol{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$。
(2) 由输出结果是0且没有返回运算，可知求完算术平方根后，该数大于$\sqrt{5}$，减去$\sqrt{6}$后结果为0。
列等式得：
$\sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{6} = 0$
移项得：
$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{6}$
两边平方得：
$x^2 - 1 = 6$
整理得：
$x^2 = 7$
验证：$\sqrt{x^2 - 1}=\sqrt{6}＞\sqrt{5}$，符合无返回运算的要求，且$x^2-1=6≥0$满足算术平方根的被开方数非负条件。
所以输入的数$x$的值为$\sqrt{7}$。
解析
【分析】
解题前首先要明确运算程序的规则：输入x后，先计算$x^2-1$，再求该结果的算术平方根；若算术平方根小于$\sqrt{5}$，就取它的平方作为新的x返回重新运算，若算术平方根大于$\sqrt{5}$，就用该算术平方根减去$\sqrt{6}$输出结果。
(1) 输入x=2时，严格按照规则分步计算，第一次运算后判断和$\sqrt{5}$的大小，满足返回条件就重新代入运算，直到符合输出要求即可。
(2) 输出结果为0且无返回运算，说明第一次得到的算术平方根大于$\sqrt{5}$，减去$\sqrt{6}$后等于0，据此列方程求解，最后验证解是否满足运算的前提条件。
【解析】
(1) 当输入$x=2$时：
第一步：计算$x^2-1=2^2-1=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}$；
因为$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，取$\sqrt{3}$的平方3作为新的x返回运算。
第二步：输入$x=3$，计算$3^2-1=8$，8的算术平方根是$\sqrt{8}$；
因为$\sqrt{8}＞\sqrt{5}$，所以计算$\sqrt{8}-\sqrt{6}=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，即为输出结果。
(2) 由输出结果为0且没有返回运算，可知$x^2-1$的算术平方根大于$\sqrt{5}$，且减去$\sqrt{6}$后结果为0，列方程得：
$\sqrt{x^2-1}-\sqrt{6}=0$
移项得：$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{6}$
两边同时平方得：$x^2-1=6$
整理得$x^2=7$，验证：$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{6}＞\sqrt{5}$，符合无返回运算的要求，且$x^2-1=6≥0$满足算术平方根被开方数非负的条件，因此$x=\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{7}}$
【知识点】
算术平方根运算、无理数大小比较、程序类运算
【点评】
本题结合运算程序考查根式的相关计算，解题关键是准确理解不同条件对应的运算逻辑，求解后要注意验证结果是否符合题目的限定要求。
【难度系数】
0.65
解题前首先要明确运算程序的规则：输入x后，先计算$x^2-1$，再求该结果的算术平方根；若算术平方根小于$\sqrt{5}$，就取它的平方作为新的x返回重新运算，若算术平方根大于$\sqrt{5}$，就用该算术平方根减去$\sqrt{6}$输出结果。
(1) 输入x=2时，严格按照规则分步计算，第一次运算后判断和$\sqrt{5}$的大小，满足返回条件就重新代入运算，直到符合输出要求即可。
(2) 输出结果为0且无返回运算，说明第一次得到的算术平方根大于$\sqrt{5}$，减去$\sqrt{6}$后等于0，据此列方程求解，最后验证解是否满足运算的前提条件。
【解析】
(1) 当输入$x=2$时：
第一步：计算$x^2-1=2^2-1=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}$；
因为$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，取$\sqrt{3}$的平方3作为新的x返回运算。
第二步：输入$x=3$，计算$3^2-1=8$，8的算术平方根是$\sqrt{8}$；
因为$\sqrt{8}＞\sqrt{5}$，所以计算$\sqrt{8}-\sqrt{6}=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，即为输出结果。
(2) 由输出结果为0且没有返回运算，可知$x^2-1$的算术平方根大于$\sqrt{5}$，且减去$\sqrt{6}$后结果为0，列方程得：
$\sqrt{x^2-1}-\sqrt{6}=0$
移项得：$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{6}$
两边同时平方得：$x^2-1=6$
整理得$x^2=7$，验证：$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{6}＞\sqrt{5}$，符合无返回运算的要求，且$x^2-1=6≥0$满足算术平方根被开方数非负的条件，因此$x=\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{7}}$
【知识点】
算术平方根运算、无理数大小比较、程序类运算
【点评】
本题结合运算程序考查根式的相关计算，解题关键是准确理解不同条件对应的运算逻辑，求解后要注意验证结果是否符合题目的限定要求。
【难度系数】
0.65
9.某大学生机器人团队在全国比赛中取得优异成绩，机器人的行走由编程控制，可近似理解为机器人站在格点上，把行走区域看作网格，沿网格线行走，每走一步为一个单位长度，然后转化为程序语言。如图，从点B走到点C记作(1,2)，从点B走到点A记作(-2,-1)。
(1)从点B到点D可记作；
(2)若一个机器人从点C出发，按照(-2,-2),(-2,1),(2,-3),(-1,2)行走后到达点E,请在图中标出点E的位置；
(3)若图中另有两个格点M,N,从点M走到点A记作(m+1,n-4),从点M走到点N记作(m+5,n-2),则点A走到点N应记作什么？
(1)从点B到点D可记作；
(2)若一个机器人从点C出发，按照(-2,-2),(-2,1),(2,-3),(-1,2)行走后到达点E,请在图中标出点E的位置；
(3)若图中另有两个格点M,N,从点M走到点A记作(m+1,n-4),从点M走到点N记作(m+5,n-2),则点A走到点N应记作什么？
答案
解：
(1) 根据题中行走记法规则：有序数对第一个数表示水平方向位移，向右为正、向左为负；第二个数表示竖直方向位移，向上为正、向下为负。
从点B到点D，水平向右移动3个单位，竖直向下移动1个单位，因此记作$\boldsymbol{(3,-1)}$。
(2) 点E标注步骤：
1. 从点C出发，按$(-2,-2)$行走：向左走2个单位，向下走2个单位；
2. 接着按$(-2,1)$行走：向左走2个单位，向上走1个单位；
3. 接着按$(2,-3)$行走：向右走2个单位，向下走3个单位；
4. 最后按$(-1,2)$行走：向左走1个单位，向上走2个单位；
最终到达的格点即为点E。
(3) 由题意可知：
点A相对于点M的水平位移为$m+1$，竖直位移为$n-4$；
点N相对于点M的水平位移为$m+5$，竖直位移为$n-2$。
因此点A到点N的水平位移为：$(m+5)-(m+1)=4$，
点A到点N的竖直位移为：$(n-2)-(n-4)=2$。
所以点A走到点N应记作$\boldsymbol{(4,2)}$。
(1) 根据题中行走记法规则：有序数对第一个数表示水平方向位移，向右为正、向左为负；第二个数表示竖直方向位移，向上为正、向下为负。
从点B到点D，水平向右移动3个单位，竖直向下移动1个单位，因此记作$\boldsymbol{(3,-1)}$。
(2) 点E标注步骤：
1. 从点C出发，按$(-2,-2)$行走：向左走2个单位，向下走2个单位；
2. 接着按$(-2,1)$行走：向左走2个单位，向上走1个单位；
3. 接着按$(2,-3)$行走：向右走2个单位，向下走3个单位；
4. 最后按$(-1,2)$行走：向左走1个单位，向上走2个单位；
最终到达的格点即为点E。
(3) 由题意可知：
点A相对于点M的水平位移为$m+1$，竖直位移为$n-4$；
点N相对于点M的水平位移为$m+5$，竖直位移为$n-2$。
因此点A到点N的水平位移为：$(m+5)-(m+1)=4$，
点A到点N的竖直位移为：$(n-2)-(n-4)=2$。
所以点A走到点N应记作$\boldsymbol{(4,2)}$。
解析
【分析】
首先解读题目给出的行走记法规则：有序数对的第一个数表示水平方向位移，向右为正、向左为负；第二个数表示竖直方向位移，向上为正、向下为负。(1) 要得到点B到D的记法，只需分别统计两点水平、竖直方向的位移，对应正负规则写出数对即可。(2) 找E点时，从C点出发，依次按照每个有序数对对应的方向和步数移动，最终停留的格点就是E。(3) 已知A、N相对于M的位移，用N相对M的位移减去A相对M的位移，分别计算水平、竖直方向的差值，即可得到A到N的对应数对。
【解析】
(1) 观察格点可知，从点B到点D，水平方向向右移动3个单位，竖直方向向下移动1个单位，根据记法规则，向右为正、向下为负，因此记作$(3,-1)$。
(2) 从点C出发依次移动：
① 按$(-2,-2)$行走：向左走2个单位，向下走2个单位；
② 按$(-2,1)$行走：向左走2个单位，向上走1个单位；
③ 按$(2,-3)$行走：向右走2个单位，向下走3个单位；
④ 按$(-1,2)$行走：向左走1个单位，向上走2个单位，最终到达的格点即为点E（相对C点总位移：水平左移3个单位，竖直下移2个单位）。
(3) 由题意得：点A相对点M的水平位移为$m+1$，竖直位移为$n-4$；点N相对点M的水平位移为$m+5$，竖直位移为$n-2$。
点A到点N的水平位移为：$(m+5)-(m+1)=4$，
点A到点N的竖直位移为：$(n-2)-(n-4)=2$，
因此点A走到点N的记法可求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-1)}$
(2) 按上述步骤移动后标注E即可（E位于C点左侧3个单位、下方2个单位的格点处）
(3) $\boldsymbol{(4,2)}$
【知识点】
有序数对；位置平移；位移计算
【点评】
本题结合实际场景考查有序数对的规则理解与应用，解题核心是先明确记法的正负规则与位移对应关系，再通过位移的加减运算求解，能够锻炼信息提取能力和简单运算能力。
【难度系数】
0.7
首先解读题目给出的行走记法规则：有序数对的第一个数表示水平方向位移，向右为正、向左为负；第二个数表示竖直方向位移，向上为正、向下为负。(1) 要得到点B到D的记法，只需分别统计两点水平、竖直方向的位移，对应正负规则写出数对即可。(2) 找E点时，从C点出发，依次按照每个有序数对对应的方向和步数移动，最终停留的格点就是E。(3) 已知A、N相对于M的位移，用N相对M的位移减去A相对M的位移，分别计算水平、竖直方向的差值，即可得到A到N的对应数对。
【解析】
(1) 观察格点可知，从点B到点D，水平方向向右移动3个单位，竖直方向向下移动1个单位，根据记法规则，向右为正、向下为负，因此记作$(3,-1)$。
(2) 从点C出发依次移动：
① 按$(-2,-2)$行走：向左走2个单位，向下走2个单位；
② 按$(-2,1)$行走：向左走2个单位，向上走1个单位；
③ 按$(2,-3)$行走：向右走2个单位，向下走3个单位；
④ 按$(-1,2)$行走：向左走1个单位，向上走2个单位，最终到达的格点即为点E（相对C点总位移：水平左移3个单位，竖直下移2个单位）。
(3) 由题意得：点A相对点M的水平位移为$m+1$，竖直位移为$n-4$；点N相对点M的水平位移为$m+5$，竖直位移为$n-2$。
点A到点N的水平位移为：$(m+5)-(m+1)=4$，
点A到点N的竖直位移为：$(n-2)-(n-4)=2$，
因此点A走到点N的记法可求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-1)}$
(2) 按上述步骤移动后标注E即可（E位于C点左侧3个单位、下方2个单位的格点处）
(3) $\boldsymbol{(4,2)}$
【知识点】
有序数对；位置平移；位移计算
【点评】
本题结合实际场景考查有序数对的规则理解与应用，解题核心是先明确记法的正负规则与位移对应关系，再通过位移的加减运算求解，能够锻炼信息提取能力和简单运算能力。
【难度系数】
0.7
