【变式3】不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)$\sin \dfrac{21π}{5}$与$\sin \dfrac{42π}{5}$；
(2)$\cos \dfrac{17π}{8}$与$\cos \dfrac{37π}{9}$。

解:(1)$\sin \frac{21π}{5}=\sin(4π+\frac{π}{5})=\sin \frac{π}{5}$,
$\sin \frac{42π}{5}=\sin(8π+\frac{2π}{5})=\sin \frac{2π}{5}$.
因为$y=\sin x$在$[0,\frac{π}{2}]$上单调递增,且$0＜\frac{π}{5}＜\frac{2π}{5}＜\frac{π}{2}$,
所以$\sin \frac{π}{5}＜\sin \frac{2π}{5}$,所以$\sin \frac{21π}{5}＜\sin \frac{42π}{5}$.
(2)$\cos \frac{17π}{8}=\cos(2π+\frac{π}{8})=\cos \frac{π}{8}$,$\cos \frac{37π}{9}=\cos(4π+\frac{π}{9})=\cos \frac{π}{9}$.
因为$y=\cos x$在$[0,π]$上单调递减,且$0＜\frac{π}{9}＜\frac{π}{8}＜π$,
所以$\cos \frac{π}{9}＞\cos \frac{π}{8}$,所以$\cos \frac{17π}{8}＜\cos \frac{37π}{9}$.

【典例4】已知函数$f(x)=2\sin(2x+\frac{π}{3})$，求函数$f(x)$在$(0,\frac{π}{2})$上的值域.
解题指导 令$t=2x+\frac{π}{3}$，$x\in(0,\frac{π}{2})$，则$t\in(\frac{π}{3},\frac{4π}{3})$，利用函数$p(t)=2\sin t$在$t\in(\frac{π}{3},\frac{4π}{3})$上的性质，得到$p(\frac{4π}{3})＜p(t)≤ p(\frac{π}{2})$，即可得解.
答案 解：令$t=2x+\frac{π}{3}$，$x\in(0,\frac{π}{2})$，则$t\in(\frac{π}{3},\frac{4π}{3})$.
因为$p(t)=2\sin t$在$(\frac{π}{3},\frac{π}{2}]$上单调递增，在$(\frac{π}{2},\frac{4π}{3})$上单调递减，且$p(\frac{π}{3})=2\sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，
$p(\frac{4π}{3})=2\sin\frac{4π}{3}=2\sin(π+\frac{π}{3})=-2\sin\frac{π}{3}=-\sqrt{3}$，
所以$p(\frac{4π}{3})＜p(t)≤ p(\frac{π}{2})$，即$-\sqrt{3}＜p(t)≤2$，
所以函数$f(x)$在$(0,\frac{π}{2})$上的值域为$(-\sqrt{3},2]$.
▶方法总结
求函数$f(x)=A\sin(ω x+\varphi)+k$在区间$[a,b]$上的值域的一般步骤：
先由定义域求得$ω x+\varphi$的取值范围，再确定$\sin(ω x+\varphi)$（或$\cos(ω x+\varphi)$）的取值范围，最后求得值域（最值）.

解：令$t=2x+\frac{π}{3}$，$x\in(0,\frac{π}{2})$，则$t\in(\frac{π}{3},\frac{4π}{3})$。
因为$p(t)=2\sin t$在$(\frac{π}{3},\frac{π}{2}]$上单调递增，在$(\frac{π}{2},\frac{4π}{3})$上单调递减，
且$p(\frac{π}{3})=2\sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，
$p(\frac{4π}{3})=2\sin\frac{4π}{3}=2\sin(π+\frac{π}{3})=-2\sin\frac{π}{3}=-\sqrt{3}$，
所以$p(\frac{4π}{3})＜p(t)≤ p(\frac{π}{2})$，即$-\sqrt{3}＜p(t)≤2$，
所以函数$f(x)$在$(0,\frac{π}{2})$上的值域为$(-\sqrt{3},2]$。