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12. 新题型 新运算 我们定义一种新运算：$a*b=2a+ab$（等号右边为通常意义的运算）.
(1)若$3*x=\frac{1}{2}*x$,求$x$的值；
(2)若$(-3)*(2*x)=x+24$,求$x$的值.
(1)若$3*x=\frac{1}{2}*x$,求$x$的值；
(2)若$(-3)*(2*x)=x+24$,求$x$的值.
答案
12. (1)由题意得$3*x=2×3+3x=6+3x$,$\frac{1}{2}*x=2×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x=1+\frac{1}{2}x$,所以$6+3x=1+\frac{1}{2}x$,解得$x=-2$.
(2)由题意得$2*x=2×2+2x=4+2x$,所以$(-3)*(2*x)=(-3)*(4+2x)=2×(-3)+(-3)×(4+2x)=-6-12-6x=-18-6x$,所以$-18-6x=x+24$,解得$x=-6$.
(2)由题意得$2*x=2×2+2x=4+2x$,所以$(-3)*(2*x)=(-3)*(4+2x)=2×(-3)+(-3)×(4+2x)=-6-12-6x=-18-6x$,所以$-18-6x=x+24$,解得$x=-6$.
13. 先看例子,再解类似的题目.
解方程:$|x|+1=3$.
解法一:当$x≥0$时,原方程化为$x+1=3$.解方程,得$x=2$;当$x＜0$时,原方程化为$-x+1=3$.解方程,得$x=-2$.所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$.
解法二:移项,得$|x|=3-1$.合并同类项,得$|x|=2$.由绝对值的意义知$x=±2$,所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$.
用你学到的方法解方程:$2|x|-3=5$.(用两种方法解)
解方程:$|x|+1=3$.
解法一:当$x≥0$时,原方程化为$x+1=3$.解方程,得$x=2$;当$x＜0$时,原方程化为$-x+1=3$.解方程,得$x=-2$.所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$.
解法二:移项,得$|x|=3-1$.合并同类项,得$|x|=2$.由绝对值的意义知$x=±2$,所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$.
用你学到的方法解方程:$2|x|-3=5$.(用两种方法解)
答案
13. 解法一:当$x≥0$时,原方程化为$2x-3=5$,解方程,得$x=4$;当$x＜0$时,原方程化为$-2x-3=5$,解方程,得$x=-4$.所以方程$2|x|-3=5$的解为$x=4$或$x=-4$.
解法二:移项,得$2|x|=5+3$.合并同类项且系数化为1,得$|x|=4$.由绝对值的意义知$x=±4$,所以方程$2|x|-3=5$的解是$x=4$或$x=-4$.
解法二:移项,得$2|x|=5+3$.合并同类项且系数化为1,得$|x|=4$.由绝对值的意义知$x=±4$,所以方程$2|x|-3=5$的解是$x=4$或$x=-4$.
14. 已知关于$x$的方程$kx+m=x+4$.
(1)当$k$和$m$为何值时,方程有唯一解?
(2)当$k$和$m$为何值时,方程有无数个解?
(3)当$k$和$m$为何值时,方程无解?
(1)当$k$和$m$为何值时,方程有唯一解?
(2)当$k$和$m$为何值时,方程有无数个解?
(3)当$k$和$m$为何值时,方程无解?
答案
14. 方程可变形为$(k-1)x=4-m$.
(1)当$k≠1$,$m$为任意数时,方程有唯一解.
(2)当$k=1$,$m=4$时,方程有无数个解.
(3)当$k=1$,$m≠4$时,方程无解.
(1)当$k≠1$,$m$为任意数时,方程有唯一解.
(2)当$k=1$,$m=4$时,方程有无数个解.
(3)当$k=1$,$m≠4$时,方程无解.
15. 在解一元一次方程时,巧妙利用整体法,可以达到简化计算的效果.例如,在解方程7(2x+1)-10(2x+1)+8=2x+1时,把2x+1看作一个整体.
令$a=2x+1$,得$7a-10a+8=a$,
移项,得$7a-10a-a=-8$,
合并同类项,得$-4a=-8$,
系数化为1,得$a=2$,
故$2x+1=2$,解得$x=\frac{1}{2}$.
阅读以上材料,请用同样的方法解方程:
$2026(7x-1)+2025(1-7x)-5=14x-2$.
令$a=2x+1$,得$7a-10a+8=a$,
移项,得$7a-10a-a=-8$,
合并同类项,得$-4a=-8$,
系数化为1,得$a=2$,
故$2x+1=2$,解得$x=\frac{1}{2}$.
阅读以上材料,请用同样的方法解方程:
$2026(7x-1)+2025(1-7x)-5=14x-2$.
答案
15. $2026(7x-1)+2025(1-7x)-5=14x-2$可变形为$2026(7x-1)-2025(7x-1)-5=2(7x-1)$,令$a=7x-1$,得$2026a-2025a-5=2a$,移项,得$2026a-2025a-2a=5$,合并同类项,得$-a=5$,解得$a=-5$,故$7x-1=-5$,解得$x=-\frac{4}{7}$.
