4. 在$△ ABC$中,$∠ A$是$∠ B$的2倍,且$∠ C$比$∠ A+∠ B$大$12°$.请判断$△ ABC$的形状并说明理由.

解: $△ ABC$为钝角三角形.
理由:设$∠ B=x°$,则$∠ A=2x°$.
$\because ∠ C$比$∠ A+∠ B$大$12°$,
$\therefore ∠ C=3x°+12°$.
$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°$,
$\therefore 2x°+x°+3x°+12°=180°$.
解得$x=28$.
$\therefore ∠ C=3×28°+12°=96°$.
$\therefore △ ABC$为钝角三角形.

5. 如图,按规定,一块模板中$AB$,$CD$的延长线应相交成$85°$的角,因交点不在板上,不便测量.如果你是技术工人,利用你所学的知识,能否验证这个模板是否合格?若能验证,请写出你的验证过程.

解: 能验证.
验证过程:如图,延长$AB$,$CD$交于点$O$.
在$△ AOC$中,$∠ BAC+∠ DCA+∠ O=180°$.
$\because ∠ O=85°$时符合规定,
$\therefore$此时$∠ BAC+∠ DCA=180°-85°=95°$.
$\therefore$只要测得$∠ BAC+∠ DCA=95°$,就能
验证这个模板是合格的.

6. 问题情境:如图①,在同一平面内,点$B$和点$C$分别位于三角板$PMN$的两条直角边$PM$和$PN$上,点$A$与点$P$在直线$BC$的同侧.若点$P$在$△ ABC$的内部,则$∠ ABP$,$∠ ACP$与$∠ A$之间是否满足某种确定的数量关系?

(1)特殊探究:若$∠ A=55°$,则
$∠ ABC+∠ ACB=$,
$∠ PBC+∠ PCB=$,
$∠ ABP+∠ ACP=$.
(2)类比探索:请猜想$∠ ABP+∠ ACP$与$∠ A$的关系,并说明理由.
(3)类比延伸:改变点$A$的位置,使点$P$在$△ ABC$的外部,其他条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立.若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出$∠ ABP$,$∠ ACP$与$∠ A$之间满足的数量关系式.

解:(1)$125°$,$90°$,$35°$
(2)猜想: $∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$.
理由:在$△ ABC$中,
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$.
$\because ∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$,
$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$,
$\therefore (∠ ABP + ∠ PBC)+(∠ ACP +$
$∠ PCB)=180°-∠ A$.
$\therefore (∠ ABP + ∠ ACP)+(∠ PBC +$
$∠ PCB)=180°-∠ A$.
又$\because$在直角三角形$PBC$中,$∠ P=90°$,
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$.
$\therefore (∠ ABP+∠ ACP)+90°=180°-∠ A$.
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$.
(3)判断:(2)中的结论不成立.
①如图.

结论: $∠ A+∠ ACP-∠ ABP=90°$.
理由:设$AB$交$PN$于点$O$.
$\because ∠ AOC=∠ BOP$,
$\therefore ∠ A+∠ ACP=90°+∠ ABP$.
$\therefore ∠ A+∠ ACP-∠ ABP=90°$.
②如图.

结论: $∠ A+∠ ABP-∠ ACP=90°$.
说理方法与①类似.
③如图.

结论: $∠ A-∠ ABP-∠ ACP=90°$.
理由: $\because ∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$,
$∠ P + ∠ ABP + ∠ ACP + ∠ ABC +$
$∠ ACB=180°$,
$\therefore ∠ A=∠ P+∠ ABP+∠ ACP$.
$\therefore ∠ A-∠ ABP-∠ ACP=90°$.