【典例1】在图1中，A，B为格点，过点A作$AE ⊥ AB$.

【分析】
要过点A作AB的垂线，我们可以利用格点特征构造全等直角三角形来实现：首先观察AB的格点走向，点A到点B的水平位移为4格、竖直位移为1格，若要得到与AB垂直的线段，只需构造一个与AB所在直角三角形全等、且直角边分别互相垂直的新直角三角形，即可通过全等的性质推出角互余，进而得到90°夹角，满足垂直要求。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 先确定AB的位置特征：从A到B，水平向右移动4格，竖直向上移动1格，对应直角三角形的两条直角边长度分别为4、1。
2. 过点A，水平向右移动1格，再竖直向下移动4格，找到格点E。
3. 连接AE，易证AB、AE所在的两个直角三角形全等，可得对应角相等，进而推出∠BAE=90°，即AE⊥AB，AE即为所求作的线段。
【答案】

【知识点】
格点作图；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题属于无刻度直尺格点作图类题型，解题关键是利用格点的边长特点构造全等三角形，通过角的转化证明垂直，能够有效考查学生对全等性质的灵活运用能力和几何作图的分析能力。
【难度系数】
0.7

【典例2】在图4中，A，B，C为格点，过点C作$CD// AB$. 图4
变式1.在图2中，A，B，C为格点，过点C作$CF⊥ AB$.

1. 典例2：
2. 变式1：

【分析】
典例2作平行线：根据平行线的判定，同位角相等则两直线平行，在格点中可通过构造全等的直角三角形得到相等的同位角，从而得到平行线。首先观察AB的走向：从A到B横向移动3格、纵向移动4格，过点C按照相同的横纵移动比例找到对应格点D，连接CD即可。
变式1作垂线：根据垂线的定义，两条直线夹角为90°时互相垂直，在格点中可通过构造直角边互换的全等直角三角形，得到互余的角，从而得到90°夹角。观察AB的横纵移动格数，将横纵格数互换后调整移动方向，过点C找到对应格点F，连接CF即可。
【解析】
1. 典例2：设每个小方格边长为1，观察得点A向右平移3格、向上平移4格可到达点B。过点C向左平移3格、向下平移4格找到格点D，连接CD。此时CD与AB对应的直角三角形全等，同位角相等，满足$CD// AB$的要求。
2. 变式1：AB对应直角三角形的直角边比为横向3:纵向4，要作AB的垂线，需构造直角边比为横向4:纵向3的直角三角形。过点C向左平移4格、向下平移3格找到格点F，连接CF。此时CF与AB的夹角为90°，满足$CF⊥ AB$的要求。
【答案】
1. 典例2：
2. 变式1：
【知识点】
全等三角形的应用，平行线的判定，垂线的判定
【点评】
本题是格点无刻度直尺作图的典型题型，核心是利用格点特征构造全等三角形，通过角的数量关系判断线段的位置关系，能够有效锻炼几何观察能力与作图实操能力。
【难度系数】
0.7

变式2.在图3中，A，B，P为格点，过点P作$PM⊥AB$.

【分析】
要在网格中过点P作AB的垂线，可利用网格格点构造全等直角三角形实现。首先观察AB的倾斜特征：AB所在直角三角形的水平直角边长为1个单位，竖直直角边长为4个单位；根据全等性质，若两条线段所在直角三角形的直角边长度交叉相等（即一条的水平直角边长度等于另一条的竖直直角边长度，反之亦然），则两条线段互相垂直。因此我们只需找到过点P、满足水平直角边为4、竖直直角边为1的格点M，连接PM即可得到AB的垂线。
【解析】
1. 首先观察线段AB：以A、B为顶点作直角三角形，可得其水平直角边长为1格，竖直直角边长为4格；
2. 过点P向左数4格，再向下数1格，找到格点M；
3. 用无刻度直尺连接点P和点M，线段PM即为所求的AB的垂线。
【答案】

【知识点】
1. 无刻度直尺作图
2. 垂线的判定
3. 全等三角形的应用
【点评】
本题核心是利用网格的格点特征和全等三角形的性质作已知直线的垂线，解题的关键是掌握网格中互相垂直线段对应的直角边长度规律，熟悉无刻度直尺格点作图的技巧就能快速完成。
【难度系数】
0.7

变式.如图5,6,A,B为格点,画出AB中点C.

【分析】
要找到线段AB的中点，即需确定点C满足AC=BC。无刻度直尺仅可连接格点作图，因此可利用网格的格点特征，构造“八字形”对顶全等三角形：在AB两侧找到合适的格点，连接两点得到的线段与AB交于C，通过证明两个对顶三角形全等，可得AC=BC，即可确定C为AB中点。
【解析】
1. 针对图5：观察AB的位置，选取AB两侧满足全等构造条件的两个格点，用直尺连接这两个格点，连线与AB的交点即为所求中点C。构造的两个对顶三角形满足角边角（ASA）全等，因此对应边AC=BC。
2. 针对图6：AB为竖直格点线段，同样在AB两侧选取合适的格点连接，连线与AB的交点即为中点C，构造的对顶三角形全等，可得AC=BC。
【答案】

【知识点】
全等三角形性质、网格作图、线段中点定义
【点评】
本题是典型的无刻度直尺网格作图题，核心是利用全等三角形对应边相等的性质得到等长线段，从而确定线段中点。解题时需要结合格点的位置特征，灵活构造全等图形，能够有效锻炼几何直观与动手作图能力。
【难度系数】
0.7

【典例3】在图7中，A，B，C为格点，作∠BAC的平分线AD.

【分析】
要作∠BAC的平分线，我们可以结合角平分线的判定定理来思考：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。由于是格点作图，我们只需要找到一个合适的格点D，使得点D到AB、AC的距离相等，连接AD即可得到∠BAC的平分线；也可以通过构造全等三角形，证明AD将∠BAC分成两个相等的角，从而确定AD是角平分线。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，观察格点特征完成作图：
1. 依据格点的边长特征找到符合要求的格点D，可通过构造全等三角形或计算点到直线的距离，验证得到∠BAD=∠CAD；
2. 用无刻度直尺连接点A和找到的格点D，线段AD即为所求的∠BAC的平分线。
【答案】

【知识点】
角平分线的判定，全等三角形的应用，格点作图
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，解题的关键是结合格点的特征，灵活运用角平分线的判定和全等三角形的性质找到符合要求的点，考查了几何作图能力和对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.6

【典例4】在图10中，A,B,C为格点，在AB上画点F，使∠ADC=∠BDF. 图10

提示:△ACD≌△CBE,∠ADC=∠BEF.△BEF≌△BDF,∠BDF=∠BEF=∠ADC.

【分析】
要构造∠ADC=∠BDF，可通过全等三角形实现角度的等量转移。首先结合网格特点，先构造与△ACD全等的三角形，得到和∠ADC相等的角，再通过第二次全等将该角转化为∠BDF：第一步找符合全等条件的格点，作辅助线得到其与AB的交点，即为所求的F点。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以C为原点，CA为x轴、CB为y轴建立平面直角坐标系，可得C(0,0)、A(4,0)、B(0,4)、D(0,2)，作图步骤如下：
1. 取格点E(2,4)，连接CE，CE与AB的交点即为点F，连接DF即可。
证明：
① 在△ACD和△CBE中，AC=CB=4，∠ACD=∠CBE=90°，CD=BE=2，由SAS可证△ACD≌△CBE，得∠ADC=∠CEB。
② 易求AB的解析式为$y=-x+4$，CE的解析式为$y=2x$，联立解得交点$F(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$。
③ 在△BEF和△BDF中，BE=BD=2，∠EBF=∠DBF=45°，BF为公共边，由SAS可证△BEF≌△BDF，得∠BDF=∠BEF。
综上，∠BDF=∠ADC，点F符合要求。
【答案】

【知识点】
全等三角形的判定与性质；无刻度直尺作图；网格角度构造
【点评】
本题是典型的网格几何作图题，核心考查全等三角形性质的灵活运用，要求学生能结合网格特征找到合适的格点构造全等图形，实现角度的等量转化，对学生的几何观察能力和全等知识的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

变式1.在图8中，A，B，C为格点，作∠EAC=∠BAC.

【分析】
要作出∠EAC=∠BAC，我们可以利用全等三角形对应角相等的性质来作图。首先AC是两个角的公共边，只需构造出与△BAC全等的△EAC，就能得到相等的角。我们可以借助网格的格点特征，找到满足全等条件的点E，再连接AE即可完成作图。
【解析】
1. 设每个小方格的边长为1，由勾股定理计算得AB的长度为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
2. 在AC的右侧寻找格点E，使得AE的长度也为$2\sqrt{5}$，同时满足BC=EC；
3. 连接AE，此时在△BAC和△EAC中：$AB=AE$，$BC=EC$，$AC=AC$，根据SSS全等判定定理可得$△ BAC≌△ EAC$；
4. 由全等三角形对应角相等，可得$∠ EAC=∠ BAC$，即$∠ EAC$为所求作的角。
【答案】

【知识点】
全等三角形的判定与性质；网格作图
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，核心是利用全等三角形的性质推导得到相等的角，解题的关键是结合网格特征快速找到符合全等条件的格点，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，具备基本的网格观察和计算能力。
【难度系数】
0.6

变式2.如图9,A,B,O为格点,O为△ABC角平分线交点,作出点C.

【分析】
解题时首先明确：三角形角平分线的交点是三角形的内心，它在三角形每个内角的角平分线上，即AO平分∠BAC、BO平分∠ABC。结合角平分线的对称性，角的两条边关于角平分线轴对称，已知∠A和∠B的公共边是AB，我们只需分别作出AB关于AO对称的射线（即AC所在射线）、AB关于BO对称的射线（即BC所在射线），两条射线的交点就是所求的点C，结合格点的位置特征就能快速确定两条射线的走向。
【解析】
1. 由O是△ABC的角平分线交点可知，AO平分∠BAC，BO平分∠ABC；
2. 根据角平分线的轴对称性，在格点中作AB关于AO的对称射线，即为边AC所在的射线；
3. 同理作AB关于BO的对称射线，即为边BC所在的射线；
4. 两条射线的交点即为所求作的点C。
【答案】

【知识点】
1. 三角形内心定义
2. 角平分线的性质
3. 格点作图
【点评】
本题属于无刻度直尺作图类题型，核心是利用三角形内心的性质确定角平分线，再结合角平分线的对称性找到三角形另外两条边的位置，对学生的图形感知能力和格点特征运用能力有一定的考查。
【难度系数】
0.6