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【例1】计算$1÷(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})$的结果是
$\dfrac{xy}{x+y}$
。答案
$\dfrac{xy}{x+y}$
解析
【分析】
这是分式混合运算的基础题，解题遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序。第一步先处理括号内的异分母分式加法：先找最简公分母通分，把异分母分式转化为同分母分式后再相加；第二步处理分式除法：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，计算后即可得到结果。
【解析】
解：先计算括号内的异分母分式加法：
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}=\dfrac{x+y}{xy}$
再计算分式除法：
$1÷(\dfrac{x+y}{xy})=1×\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{xy}{x+y}$
【答案】
$\dfrac{xy}{x+y}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式除法运算；分式通分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，主要考察分式运算的顺序和基本运算法则，计算时要注意通分的正确性，以及除法转乘法时要记得乘除数的倒数，避免因记错法则失分。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算的基础题，解题遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序。第一步先处理括号内的异分母分式加法：先找最简公分母通分，把异分母分式转化为同分母分式后再相加；第二步处理分式除法：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，计算后即可得到结果。
【解析】
解：先计算括号内的异分母分式加法：
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}=\dfrac{x+y}{xy}$
再计算分式除法：
$1÷(\dfrac{x+y}{xy})=1×\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{xy}{x+y}$
【答案】
$\dfrac{xy}{x+y}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式除法运算；分式通分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，主要考察分式运算的顺序和基本运算法则，计算时要注意通分的正确性，以及除法转乘法时要记得乘除数的倒数，避免因记错法则失分。
【难度系数】
0.8
练习1.计算：$\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x + 2} ÷ \dfrac{x - 2}{x + 2}$的结果是
$x-2$
。答案
$x-2$
解析
【分析】
这是分式除法运算的基础题，解题思路可分为三步：第一步先对被除式的分子因式分解，观察到分子$x^2-4x+4$符合完全平方公式的结构，可分解为$(x-2)^2$；第二步根据分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，将除法运算转化为乘法运算；第三步找到分子分母的公因式进行约分，即可得到化简结果，运算时要注意分母不为0的隐含条件，保证约分的合法性。
【解析】
解：先对被除式的分子因式分解，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(x-2)^2}{x+2} × \dfrac{x+2}{x-2}$
由分式有意义的条件可知$x+2≠0$，$x-2≠0$，因此可约去公因式$x+2$和$x-2$，得：
原式$=x-2$
【答案】
$x-2$
【知识点】
分式的除法法则；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，考查分式运算的基本步骤，计算时遵循先因式分解、再化除为乘、最后约分的流程即可，需注意分母不为0的隐含约束，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
这是分式除法运算的基础题，解题思路可分为三步：第一步先对被除式的分子因式分解，观察到分子$x^2-4x+4$符合完全平方公式的结构，可分解为$(x-2)^2$；第二步根据分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，将除法运算转化为乘法运算；第三步找到分子分母的公因式进行约分，即可得到化简结果，运算时要注意分母不为0的隐含条件，保证约分的合法性。
【解析】
解：先对被除式的分子因式分解，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(x-2)^2}{x+2} × \dfrac{x+2}{x-2}$
由分式有意义的条件可知$x+2≠0$，$x-2≠0$，因此可约去公因式$x+2$和$x-2$，得：
原式$=x-2$
【答案】
$x-2$
【知识点】
分式的除法法则；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，考查分式运算的基本步骤，计算时遵循先因式分解、再化除为乘、最后约分的流程即可，需注意分母不为0的隐含约束，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
练习2.计算$\frac{y}{x^2 - y^2} ÷ (1 - \frac{x}{x + y})$的结果是
$\dfrac{1}{x-y}$
。答案
$\dfrac{1}{x-y}$
解析
【分析】
本题是分式混合运算题，解题时遵循分式运算顺序：先算括号内的运算，再算括号外的除法。首先处理括号内的减法，将1通分转化为同分母分式后计算；再将除法运算转化为乘法运算，同时对能因式分解的多项式因式分解，最后通过约分化简得到结果即可。
【解析】
先计算括号内的减法：
$1 - \frac{x}{x+y} = \frac{x+y}{x+y} - \frac{x}{x+y} = \frac{(x+y)-x}{x+y} = \frac{y}{x+y}$
再处理除法运算，先对被除式的分母用平方差公式因式分解：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，同时将除法转化为乘以除式的倒数：
$\frac{y}{x^2 - y^2} ÷ (1 - \frac{x}{x+y}) = \frac{y}{(x+y)(x-y)} ÷ \frac{y}{x+y} = \frac{y}{(x+y)(x-y)} × \frac{x+y}{y}$
约去分子分母的公因式$y$和$x+y$，化简得：
$\frac{1}{x-y}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-y}$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是严格遵循分式运算顺序，注意通分、因式分解、约分等步骤的规范计算，避免因运算顺序错误或者因式分解出错导致失分。
【难度系数】
0.7
本题是分式混合运算题，解题时遵循分式运算顺序：先算括号内的运算，再算括号外的除法。首先处理括号内的减法，将1通分转化为同分母分式后计算；再将除法运算转化为乘法运算，同时对能因式分解的多项式因式分解，最后通过约分化简得到结果即可。
【解析】
先计算括号内的减法：
$1 - \frac{x}{x+y} = \frac{x+y}{x+y} - \frac{x}{x+y} = \frac{(x+y)-x}{x+y} = \frac{y}{x+y}$
再处理除法运算，先对被除式的分母用平方差公式因式分解：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，同时将除法转化为乘以除式的倒数：
$\frac{y}{x^2 - y^2} ÷ (1 - \frac{x}{x+y}) = \frac{y}{(x+y)(x-y)} ÷ \frac{y}{x+y} = \frac{y}{(x+y)(x-y)} × \frac{x+y}{y}$
约去分子分母的公因式$y$和$x+y$，化简得：
$\frac{1}{x-y}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-y}$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是严格遵循分式运算顺序，注意通分、因式分解、约分等步骤的规范计算，避免因运算顺序错误或者因式分解出错导致失分。
【难度系数】
0.7
练习3.计算：
(1) $(1+\dfrac{1}{x})· \dfrac{x}{x^2 -1}$；
(2) $(a^2 +3a)÷ \dfrac{a^2 -9}{a -3}$；
(3) $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})^2 ÷ (\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2})$；
(4) $(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})÷ (\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})$；
(5) $(\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{3x}{x-1})÷ \dfrac{x}{x^2 -1}$；
(6) $(1+\dfrac{2b}{a -b})^2 · (1-\dfrac{2b}{a +b})^2$。
(1) $(1+\dfrac{1}{x})· \dfrac{x}{x^2 -1}$；
(2) $(a^2 +3a)÷ \dfrac{a^2 -9}{a -3}$；
(3) $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})^2 ÷ (\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2})$；
(4) $(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})÷ (\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})$；
(5) $(\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{3x}{x-1})÷ \dfrac{x}{x^2 -1}$；
(6) $(1+\dfrac{2b}{a -b})^2 · (1-\dfrac{2b}{a +b})^2$。
答案
解:(1)原式$=\dfrac{x+1}{x}·\dfrac{x}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$；
(2)原式$=a(a+3)×\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}=a$；
(3)原式$=(\dfrac{a+b}{ab})^2×\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{a+b}{b-a}$；
(4)原式$=\dfrac{y+x}{xy}×\dfrac{xy}{y-x}=\dfrac{x+y}{y-x}$；
(5)原式$=\dfrac{x^2-x-3x(x+1)}{(x+1)(x-1)}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=-2x-4$；
(6)原式$=(\dfrac{a+b}{a-b})^2×\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=1$。
(2)原式$=a(a+3)×\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}=a$；
(3)原式$=(\dfrac{a+b}{ab})^2×\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{a+b}{b-a}$；
(4)原式$=\dfrac{y+x}{xy}×\dfrac{xy}{y-x}=\dfrac{x+y}{y-x}$；
(5)原式$=\dfrac{x^2-x-3x(x+1)}{(x+1)(x-1)}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=-2x-4$；
(6)原式$=(\dfrac{a+b}{a-b})^2×\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=1$。
解析
【分析】
解决分式混合运算类题目可遵循以下思路：1. 先明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的运算；2. 括号内的分式加减运算：先找最简公分母通分，转化为同分母分式后分子相加减，分母保持不变；3. 除法运算转化为乘法运算：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；4. 对分子、分母中的多项式进行因式分解（常用提公因式法、平方差公式）；5. 约去分子分母的公因式，注意符号处理，最终化简为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法，再做乘法约分：
原式$=\dfrac{x+1}{x}·\dfrac{x}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
(2) 先对被除式提公因式、除式因式分解，再将除法转化为乘法约分：
原式$=a(a+3)×\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}=a$
(3) 先算括号内的加减，再算乘方，最后将除法转化为乘法约分：
原式$=(\dfrac{a+b}{ab})^2×\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{(a+b)^2}{a^2b^2}×\dfrac{a^2b^2}{(b-a)(b+a)}=\dfrac{a+b}{b-a}$
(4) 先算括号内的加减，再将除法转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{y+x}{xy}×\dfrac{xy}{y-x}=\dfrac{x+y}{y-x}$
(5) 先算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{x(x-1)-3x(x+1)}{(x+1)(x-1)}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=\dfrac{x^2-x-3x^2-3x}{x}=-2x-4$
(6) 先分别计算两个括号内的加减，再算乘方，最后做乘法约分：
原式$=(\dfrac{a-b+2b}{a-b})^2 · (\dfrac{a+b-2b}{a+b})^2=(\dfrac{a+b}{a-b})^2×(\dfrac{a-b}{a+b})^2=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}×\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=1$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{x-1}$；(2)$a$；(3)$\dfrac{a+b}{b-a}$；(4)$\dfrac{x+y}{y-x}$；(5)$-2x-4$；(6)$1$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本组题目是分式混合运算的常规训练题，全面考察了分式加减、乘除、乘方的运算法则，以及提公因式、平方差公式等因式分解方法的应用。解题时需注意运算顺序，因式分解要彻底，约分时注意符号的变化，熟练掌握基础运算法则是解对这类题的核心。
【难度系数】
0.7
解决分式混合运算类题目可遵循以下思路：1. 先明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的运算；2. 括号内的分式加减运算：先找最简公分母通分，转化为同分母分式后分子相加减，分母保持不变；3. 除法运算转化为乘法运算：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；4. 对分子、分母中的多项式进行因式分解（常用提公因式法、平方差公式）；5. 约去分子分母的公因式，注意符号处理，最终化简为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法，再做乘法约分：
原式$=\dfrac{x+1}{x}·\dfrac{x}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
(2) 先对被除式提公因式、除式因式分解，再将除法转化为乘法约分：
原式$=a(a+3)×\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}=a$
(3) 先算括号内的加减，再算乘方，最后将除法转化为乘法约分：
原式$=(\dfrac{a+b}{ab})^2×\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{(a+b)^2}{a^2b^2}×\dfrac{a^2b^2}{(b-a)(b+a)}=\dfrac{a+b}{b-a}$
(4) 先算括号内的加减，再将除法转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{y+x}{xy}×\dfrac{xy}{y-x}=\dfrac{x+y}{y-x}$
(5) 先算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{x(x-1)-3x(x+1)}{(x+1)(x-1)}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=\dfrac{x^2-x-3x^2-3x}{x}=-2x-4$
(6) 先分别计算两个括号内的加减，再算乘方，最后做乘法约分：
原式$=(\dfrac{a-b+2b}{a-b})^2 · (\dfrac{a+b-2b}{a+b})^2=(\dfrac{a+b}{a-b})^2×(\dfrac{a-b}{a+b})^2=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}×\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}=1$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{x-1}$；(2)$a$；(3)$\dfrac{a+b}{b-a}$；(4)$\dfrac{x+y}{y-x}$；(5)$-2x-4$；(6)$1$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本组题目是分式混合运算的常规训练题，全面考察了分式加减、乘除、乘方的运算法则，以及提公因式、平方差公式等因式分解方法的应用。解题时需注意运算顺序，因式分解要彻底，约分时注意符号的变化，熟练掌握基础运算法则是解对这类题的核心。
【难度系数】
0.7
【例2】采购员去粮油公司购买两次大米，两次大米的价格分别为m元/千克和n元/千克，每次去都用了y(元)，则两次所购大米的平均价格是
$\dfrac{2mn}{m+n}$
元/千克.答案
$\dfrac{2mn}{m+n}$
解析
【分析】
要计算两次购买大米的平均价格，首先明确平均价格的核心计算公式为“总花费÷总购买质量”。我们可以先分别求出两次购买的总花费、两次购买的总质量，再将两者相除，最后通过分式的混合运算化简，就能得到最终的平均价格。
【解析】
解：① 计算两次购买的总花费：
每次消费y元，两次总花费为 $ y+y=2y $ 元。
② 计算两次购买的总质量：
第一次购买大米的质量为总价除以单价，即 $ \frac{y}{m} $ 千克；
第二次购买大米的质量为 $ \frac{y}{n} $ 千克；
总质量为 $ \frac{y}{m}+\frac{y}{n}=\frac{ny+my}{mn}=\frac{y(m+n)}{mn} $ 千克。
③ 计算平均价格：
平均价格=总花费÷总质量，代入数值计算：
$ \mathrm{平均价格}=2y÷\frac{y(m+n)}{mn}=2y×\frac{mn}{y(m+n)}=\frac{2mn}{m+n} $（$ y≠0 $，可约去）。
【答案】
$\dfrac{2mn}{m+n}$
【知识点】
列代数式；分式的混合运算；分式化简
【点评】
本题重点考察平均量的计算逻辑，易错点是误将两次单价的平均数直接当作平均价格，解题时要牢牢抓住“总费用除以总质量”的核心公式，再通过正确的分式运算化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要计算两次购买大米的平均价格，首先明确平均价格的核心计算公式为“总花费÷总购买质量”。我们可以先分别求出两次购买的总花费、两次购买的总质量，再将两者相除，最后通过分式的混合运算化简，就能得到最终的平均价格。
【解析】
解：① 计算两次购买的总花费：
每次消费y元，两次总花费为 $ y+y=2y $ 元。
② 计算两次购买的总质量：
第一次购买大米的质量为总价除以单价，即 $ \frac{y}{m} $ 千克；
第二次购买大米的质量为 $ \frac{y}{n} $ 千克；
总质量为 $ \frac{y}{m}+\frac{y}{n}=\frac{ny+my}{mn}=\frac{y(m+n)}{mn} $ 千克。
③ 计算平均价格：
平均价格=总花费÷总质量，代入数值计算：
$ \mathrm{平均价格}=2y÷\frac{y(m+n)}{mn}=2y×\frac{mn}{y(m+n)}=\frac{2mn}{m+n} $（$ y≠0 $，可约去）。
【答案】
$\dfrac{2mn}{m+n}$
【知识点】
列代数式；分式的混合运算；分式化简
【点评】
本题重点考察平均量的计算逻辑，易错点是误将两次单价的平均数直接当作平均价格，解题时要牢牢抓住“总费用除以总质量”的核心公式，再通过正确的分式运算化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
