14 先化简,再求值:
(1) $(a+3)^2-(a+1)(a-1)-2(2a+4)$,其中 $a=-\dfrac{1}{2}$;
(2) $[(2a+b)^2+(2a+b)(b-2a)-6b] ÷ 2b$,其中 $\left|a+\dfrac{1}{2}\right|+(b-3)^2=0$.

14. (1) 原式$=2a+2$. 当$a=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=1$ (2) 原式$=b+2a-3$.$\because \left|a+\dfrac{1}{2}\right|+(b-3)^2=0$,$\therefore \begin{cases}a+\dfrac{1}{2}=0,\\b-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=3.\end{cases}$当$a=-\dfrac{1}{2},b=3$时,原式$=b+2a-3=3+2×(-\dfrac{1}{2})-3=-1$

【分析】
本题分为两小问，均为整式的化简求值问题。第(1)问需利用完全平方公式、平方差公式展开式子，再通过去括号、合并同类项化简，最后代入给定的a值计算；第(2)问先计算中括号内的整式，同样用乘法公式展开合并，再除以2b化简，接着根据绝对值和平方的非负性求出a、b的值，最后代入化简后的式子求值。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a+3)^2 - (a+1)(a-1) - 2(2a+4)\\=&a^2 +6a +9 - (a^2 -1) -4a -8\\=&a^2 +6a +9 -a^2 +1 -4a -8\\=&2a +2\end{aligned}$
当$a=-\dfrac{1}{2}$时，代入得：$2×(-\dfrac{1}{2})+2=-1+2=1$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&[(2a+b)^2 + (2a+b)(b-2a) -6b]÷2b\\=&[4a^2 +4ab +b^2 + (b^2 -4a^2) -6b]÷2b\\=&[4a^2 +4ab +b^2 +b^2 -4a^2 -6b]÷2b\\=&(2b^2 +4ab -6b)÷2b\\=&b +2a -3\end{aligned}$
由$\left|a+\dfrac{1}{2}\right|+(b-3)^2=0$，因为绝对值和平方均为非负数，和为0则每一项为0，得：
$\begin{cases}a+\dfrac{1}{2}=0\\b-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}\\b=3\end{cases}$。
代入化简后的式子：$3 +2×(-\dfrac{1}{2})-3=3-1-3=-1$。
【答案】
(1) $1$；(2) $-1$
【知识点】
整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考查乘法公式的应用、合并同类项法则以及非负数的性质，解题时需准确运用公式化简，再结合非负性求出字母值，步骤清晰即可顺利解答。
【难度系数】
0.3

15 在数学课外活动中,组长给各位组员出了一道题:要使 $x(2x^{3}+a)+4x-3b=2x^{4}+5x+6$ 成立,则 $a,b$ 的值应为多少? 组员小明得到 $a=1,b=2$; 小华得到 $a=1,b=-2$. 请你帮助组长判断一下哪位组员的答案是正确的,并说明理由.

15. 小华的答案正确 理由:根据题意,得$2x^{4}+ax+4x-3b=2x^{4}+5x+6$,即$2x^{4}+(a+4)x-3b=2x^{4}+5x+6$,$\therefore a+4=5$,$-3b=6$.$\therefore a=1$,$b=-2$.

【分析】要判断哪位组员答案正确，需先将等式左边的式子展开并合并同类项，再依据“两个多项式相等时，同类项的系数对应相等”的性质，列出关于a、b的方程求解，最后对比两人答案得出结论。
【解析】解：先化简等式左边的式子：
$x(2x^3 + a) + 4x - 3b = 2x^4 + ax + 4x - 3b = 2x^4 + (a + 4)x - 3b$
因为等式左右两边的多项式相等，所以同类项的对应系数相等：
1. 对于x的一次项系数：$a + 4 = 5$，解得$a = 1$；
2. 对于常数项：$-3b = 6$，解得$b = -2$。
对比小明（$b=2$）和小华（$b=-2$）的答案，可知小华的答案正确。
【答案】小华的答案正确，$a=1$，$b=-2$
【知识点】整式的加减（合并同类项）、多项式相等的条件
【点评】本题考查整式的恒等变形，核心是利用多项式相等时同类项系数对应相等的性质求解参数，属于基础题型，需熟练掌握合并同类项和同类项系数的概念。
【难度系数】0.7

16 综合与探究:我们已经知道,通过用不同的方法计算几何图形的面积可以得到一些代数恒等式.
例如,如图①,我们可以得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,请据此解答下列问题:
(1) 若$x+y=4$,$x^2+y^2=9$,求$xy$的值.
(2) 若$x(4-x)=2$,则$x^2+(4-x)^2=$.
(3) 将两块全等的特制直角三角尺($∠ AOB=∠ COD=90°$)按如图②所示的方式放置,其中点$A$,$O$,$D$在同一条直线上,点$B$,$O$,$C$也在同一条直线上,连接$AC$,$BD$.若$AD=12$,$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=40$,求一块直角三角尺的面积.

16. (1) $\because x+y=4$,$\therefore (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=16$. 又$\because x^2+y^2=9$,$\therefore 2xy=16-9=7$.$\therefore xy=3.5$ (2) 12 (3) $\because$ 两块直角三角尺全等,$∠ AOB=∠ COD=90°$,点$A$,$O$,$D$在同一条直线上,点$B$,$O$,$C$也在同一条直线上,$\therefore AO=CO$,$BO=DO$,$∠ AOC=180°-∠ COD=90°$,$∠ BOD=∠ AOC=90°$. 设$AO=CO=x$,$BO=DO=y$.$\because AD=AO+OD=x+y=12$,$\therefore (x+y)^2=12^2$,即$x^2+y^2+2xy=144$.$\therefore 2xy=144-(x^2+y^2)$. 又$\because S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}y^2=40$,$\therefore x^2+y^2=80$.$\therefore 2xy=144-80=64$.$\therefore xy=32$.$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}xy=16$.$\therefore$ 一块直角三角尺的面积为16

【分析】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，以及结合几何图形性质解决代数问题。对于(1)，已知两数和与平方和，利用完全平方公式的变形可求两数乘积；对于(2)，将所求式子转化为两数和的平方减去两倍乘积，代入已知值计算；对于(3)，利用全等三角形性质得到对应边相等，结合线段和、面积和，通过完全平方公式求出对应边乘积，进而得到直角三角尺的面积。
【解析】
(1) 已知$x+y=4$，根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得$(x+y)^2=4^2=16$。又已知$x^2+y^2=9$，代入得$16=9+2xy$，解得$2xy=7$，故$xy=3.5$。
(2) 对于$x^2+(4-x)^2$，根据完全平方公式变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，令$a=x$，$b=4-x$，则$a+b=x+(4-x)=4$，已知$x(4-x)=2$，代入得$x^2+(4-x)^2=4^2 - 2×2=16-4=12$。
(3) 因为两块直角三角尺全等，$∠ AOB=∠ COD=90°$，所以$AO=CO$，$BO=DO$，且$∠ AOC=∠ BOD=90°$。设$AO=CO=x$，$BO=DO=y$，由$AD=AO+OD=x+y=12$，得$(x+y)^2=12^2=144$，即$x^2+y^2+2xy=144$。又$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2=40$，故$x^2+y^2=80$，代入得$80+2xy=144$，解得$xy=32$。直角三角尺的面积为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】
(1) $3.5$；(2) $12$；(3) $16$
【知识点】
完全平方公式、全等三角形性质、三角形面积公式
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，核心是完全平方公式的灵活变形，通过数形结合思想，将代数恒等式与几何图形的面积、线段关系结合，考查学生的公式应用能力和几何性质的运用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5