11 利用因式分解计算：
(1) $173^{2}+173×54+27^{2}$；
(2) $40×3.5^{2}+80×3.5×1.5+40×1.5^{2}.$

11. (1) 40 000 (2) 1 000

【分析】
本题利用因式分解中的完全平方公式简化计算，完全平方公式为$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。解题时需观察式子结构，将原式转化为符合完全平方公式的形式，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 观察式子$173^2 + 173×54 + 27^2$，中间项$173×54 = 2×173×27$，因此原式可变形为：
$173^2 + 2×173×27 + 27^2 = (173 + 27)^2 = 200^2 = 40000$；
(2) 观察式子$40×3.5^2 + 80×3.5×1.5 + 40×1.5^2$，先提取公因式40，原式变形为：
$40×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2) = 40×(3.5 + 1.5)^2 = 40×5^2 = 40×25 = 1000$；
【答案】
(1) 40000；(2) 1000
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式在因式分解计算中的应用，核心是识别式子的完全平方结构，通过因式分解简化运算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

12 新考向 阅读理解题 [2026 崇川段测]阅读以下材料：
因式分解：$(x+y)^2+4(x+y)+4$.
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=A$，则原式$=A^2+4A+4=(A+2)^2$.
再将“$A$”还原，得原式$=(x+y+2)^2$.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1) 因式分解：$(2x-y)^2-2(2x-y)+1=$；
(2) 因式分解：$(x^2+2x)^2+2(x^2+2x)+1$；
(3) 因式分解：$(x^2-2x)(x^2-2x-2)-3$.

12. (1) $(2x-y-1)^2$ (2) $(x^2+2x)^2+2(x^2+2x)+1=(x^2+2x+1)^2=(x+1)^4$ (3) 令$x^2-2x=B$,则$(x^2-2x)(x^2-2x-2)-3=B(B-2)-3=B^2-2B-3=(B-3)(B+1).$将“B”还原,得原式$=(x^2-2x-3)(x^2-2x+1)=(x+1)(x-3)(x-1)^2$

【分析】
本题运用整体思想进行因式分解，核心是将式子中重复出现的多项式设为新的字母（换元），转化为熟悉的二次式，再用公式法或十字相乘法分解，最后还原并确保分解彻底。
【解析】
(1) 令 $2x - y = A$，则原式 $= A^2 - 2A + 1 = (A - 1)^2$，将 $A = 2x - y$ 还原，得原式 $=(2x - y - 1)^2$；
(2) 令 $x^2 + 2x = A$，则原式 $= A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2$，将 $A = x^2 + 2x$ 还原，得 $(x^2 + 2x + 1)^2$；再对 $x^2 + 2x + 1$ 分解得 $(x + 1)^2$，故原式 $=(x + 1)^4$；
(3) 令 $x^2 - 2x = B$，则原式 $= B(B - 2) - 3 = B^2 - 2B - 3$，用十字相乘法分解得 $(B - 3)(B + 1)$；将 $B = x^2 - 2x$ 还原，得 $(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x + 1)$；再分别分解：$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$，$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，故原式 $=(x + 1)(x - 3)(x - 1)^2$。
【答案】
(1) $(2x - y - 1)^2$；(2) $(x + 1)^4$；(3) $(x + 1)(x - 3)(x - 1)^2$
【知识点】
因式分解（整体思想）、完全平方公式、十字相乘法因式分解
【点评】
本题通过整体思想简化复杂因式分解问题，需掌握换元法的应用，且分解时要确保彻底，是常见的考向题型，能锻炼学生的转化思维。
【难度系数】
0.5

13 若$△ ABC$的三边长分别为$a$,$b$,$c$,且满足$a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2ab-2bc=0$,判断$△ ABC$的形状并说明理由.

13. $△ ABC$为等边三角形 理由:$\because a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=0,\therefore a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2=0. \therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0. \therefore a-b=0$且$b-c=0. \therefore a=b=c. \therefore △ ABC$为等边三角形.

【分析】首先观察给定的等式，含有二次项与交叉项，考虑通过拆项分组，运用完全平方公式因式分解；再利用平方的非负性推导三边关系，进而判断三角形形状。
【解析】对等式变形：
∵ $a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc = 0$，
将$2b^2$拆分为$b^2 + b^2$，分组得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$，
根据完全平方公式化为：
$(a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$，
∵ 平方数非负，即$(a - b)^2 ≥ 0$，$(b - c)^2 ≥ 0$，
两个非负数和为0，则每个非负数为0，因此：
$a - b = 0$且$b - c = 0$，即$a = b$，$b = c$，
故$a = b = c$，$△ABC$为等边三角形。
【答案】$△ABC$为等边三角形
【知识点】因式分解（完全平方公式）、非负数的性质、等边三角形判定
【点评】本题通过配方法将代数等式变形，结合非负数性质推导三边相等，是代数与几何结合的基础题，重点考查配方法应用和等边三角形判定。
【难度系数】0.6