1.（2025 南京市联合体期末）下列各组数中，
是勾股数的是 （）

A.$1,\sqrt{3},2$
B.$5,12,13$
C.$6,7,8$
D.$8,24,25$

1. B

2. (2026 常州市期末)由下列线段 $a,b,c$ 组成的三角形不是直角三角形的是 （）

A.$a=3,b=4,c=5$
B.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$
C.$a=5,b=12,c=13$
D.$a:b:c=2:3:4$

2. D

3. 如图,下列四个三角形中各有一边长为6,一边长为8.若第三边长分别为6,8,10,12,则面积最大的三角形是（）

3. C 提示:作出每一个三角形中长度为8的边上的高,根据垂线段最短可知,选项 A,B,D 中,长度为8的边上的高都小于6;选项 C 中,由 $6^2+8^2=10^2$ 可知,该三角形为直角三角形,所以长度为8的边上的高为6,故选项 C 的面积最大.

4. (2025 常州市期中) 如图, 在$△ ABC$中,$AC=5$,$BC=6$,$D,E$分别是$BC,AC$的中点. 若$AD=4$,则$DE$的长为.

4. 2.5

5. (2026 南京市期末) 如图, 在 $△ ABC$ 中, 点$D$ 在边 $BC$ 上, 连接 $AD,AB=13,AC=$$20,AD=12,BD=5.$
(1) 求证:$AD⊥ BC.$
(2) 求 $△ ABC$ 的面积.

5. (1) 证明:因为 $AD=12,BD=5,AB=13$,所以 $AD^2+BD^2=12^2+5^2=169,AB^2=13^2=169$. 所以 $AD^2+BD^2=AB^2$. 所以 $△ ABD$ 是直角三角形,且$∠ ADB=90°$. 所以 $AD⊥ BC$.
(2) 解:因为 $AD⊥ BC$,所以$∠ ADC=90°$.
因为 $AD = 12, AC = 20$, 所以 $CD =\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$. 所以 $BC=BD+CD=5+16=21$. 所以$△ ABC$ 的面积$=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×21×12=126$.

6. 小明在学习完本节课后,对勾股定理的逆定理的证明提出了新的方法,以下是他作业本上的证明过程:
已知:如图,在$△ ABC$中,$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.
求证:$△ ABC$是直角三角形.
证明:作$CM ⊥ AC$,垂足为$C$,在$CM$上截取$CD=BC$,连接$AD$.因为$∠ ACD=90^{ \circ }$,所以$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$.因为$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,$CD=BC$,所以$AD^{2}=AB^{2}$,所以$AD=AB$,即$△ ADB$是等腰三角形.所以$AC ⊥ DB$,所以$△ ABC$是直角三角形.
(1)阅读上述小明的证明过程,用笔画出其中错误的步骤.
(2)按照小明添加辅助线的方法,修正小明的证明过程.

6. 解:(1) 错误的步骤为“所以 $AD=AB$,即 $△ ADB$ 是等腰三角形”. 提示:因为图中 $D$,$C$,$B$ 三点是否共线并未说明,所以由 $AD=AB$ 得不到$△ ADB$ 是等腰三角形.
(2) 修正证明过程如下:
作 $CM⊥ AC$,垂足为 $C$,在 $CM$ 上截取 $CD=BC$,连接 $AD$. 因为 $∠ ACD = 90°$, 所以 $AC^2+CD^2=AD^2$. 因为 $AC^2+BC^2=AB^2$, $CD=BC$,所以 $AD^2=AB^2$,所以 $AD=AB$.
在$△ ACD$ 和 $△ ACB$ 中,$\begin{cases} DC=BC, \\ AC=AC, \\ AD=AB, \end{cases}$ 所以 $△ ACD ≌ △ ACB$ (SSS), 所以 $∠ ACB = ∠ ACD=90°$,所以$△ ABC$ 是直角三角形.