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8. 某大樱桃采摘园收费信息如下表:
(1) 周末,6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩,最后又按价一共购买了15斤大樱桃,则该团需支付的总费用为
(2) 某公司员工在该大樱桃采摘园组织团建活动,共支付票价221元,则这次参加团建的共多少人?
(1) 周末,6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩,最后又按价一共购买了15斤大樱桃,则该团需支付的总费用为
465
元;(2) 某公司员工在该大樱桃采摘园组织团建活动,共支付票价221元,则这次参加团建的共多少人?
答案
8. (1) 465 (2) 13人
解析
【分析】
第(1)问：先依据成人票、儿童票的单价和对应人数计算门票总费用，再加上购买大樱桃的费用，即可得到总支付费用；第(2)问：需分两种情况讨论总人数，当总人数不超过10人时，成人票单价为20元/人，当总人数超过10人时，成人票单价随人数变化（每增加1人单价降1元，最低不低于15元），根据总票价221元列方程，解方程后验证解的合理性，得到正确人数。
【解析】
(1) 计算门票费用：6个成人，每人20元，费用为 $6 × 20 = 120$ 元；3个儿童，每人15元，费用为 $3 × 15 = 45$ 元；购买15斤大樱桃，每斤20元，费用为 $15 × 20 = 300$ 元；总费用为 $120 + 45 + 300 = 465$ 元。
(2) 设参加团建的总人数为 $x$ 人。
① 当 $x ≤ 10$ 时，总票价为 $20x$ 元，令 $20x = 221$，解得 $x = 11.05$，不是整数，不符合实际，舍去；
② 当 $x ＞ 10$ 时，成人票单价为 $20 - (x - 10) = 30 - x$ 元，需满足 $30 - x ≥ 15$，即 $x ≤ 15$，此时总票价为 $x(30 - x)$ 元，令 $x(30 - x) = 221$，整理得 $x^2 - 30x + 221 = 0$，解得 $x_1 = 13$，$x_2 = 17$；验证：$x=17$ 时，单价 $30 -17=13 ＜15$，不符合要求，舍去；$x=13$ 时，单价 $30 -13=17 ≥15$，符合条件，故总人数为13人。
【答案】(1)465；(2)13人
【知识点】分段计费问题，一元二次方程应用，一元一次方程应用
【点评】本题结合实际场景考查分段计费的计算，需分情况讨论人数对应的票价，解方程后要验证解是否符合票价规则，避免出现不符合实际的结果，关键是理清不同人数区间的票价计算方式。
【难度系数】0.5
第(1)问：先依据成人票、儿童票的单价和对应人数计算门票总费用，再加上购买大樱桃的费用，即可得到总支付费用；第(2)问：需分两种情况讨论总人数，当总人数不超过10人时，成人票单价为20元/人，当总人数超过10人时，成人票单价随人数变化（每增加1人单价降1元，最低不低于15元），根据总票价221元列方程，解方程后验证解的合理性，得到正确人数。
【解析】
(1) 计算门票费用：6个成人，每人20元，费用为 $6 × 20 = 120$ 元；3个儿童，每人15元，费用为 $3 × 15 = 45$ 元；购买15斤大樱桃，每斤20元，费用为 $15 × 20 = 300$ 元；总费用为 $120 + 45 + 300 = 465$ 元。
(2) 设参加团建的总人数为 $x$ 人。
① 当 $x ≤ 10$ 时，总票价为 $20x$ 元，令 $20x = 221$，解得 $x = 11.05$，不是整数，不符合实际，舍去；
② 当 $x ＞ 10$ 时，成人票单价为 $20 - (x - 10) = 30 - x$ 元，需满足 $30 - x ≥ 15$，即 $x ≤ 15$，此时总票价为 $x(30 - x)$ 元，令 $x(30 - x) = 221$，整理得 $x^2 - 30x + 221 = 0$，解得 $x_1 = 13$，$x_2 = 17$；验证：$x=17$ 时，单价 $30 -17=13 ＜15$，不符合要求，舍去；$x=13$ 时，单价 $30 -13=17 ≥15$，符合条件，故总人数为13人。
【答案】(1)465；(2)13人
【知识点】分段计费问题，一元二次方程应用，一元一次方程应用
【点评】本题结合实际场景考查分段计费的计算，需分情况讨论人数对应的票价，解方程后要验证解是否符合票价规则，避免出现不符合实际的结果，关键是理清不同人数区间的票价计算方式。
【难度系数】0.5
9. 如图所示是一个用总长65 dm的木板制作的矩形置物架和它的简化图.已知矩形置物架ABCD是由一个正方形EHKL,四个全等的矩形分别为矩形BENM、矩形LKSR、矩形RSGF、矩形HCQP,两个全等的矩形分别为矩形AMNF、矩形PQDG组成的,设正方形的边长$LE=x\ \mathrm{dm}$.
(1) 当$x=4$时,矩形ABCD的面积为
(2) 为了便于置放物品,EH的高度不得超过4 dm,若矩形ABCD的面积为$99\ \mathrm{dm}^2$,求x的值.
(1) 当$x=4$时,矩形ABCD的面积为
111
$\mathrm{dm}^2$;(2) 为了便于置放物品,EH的高度不得超过4 dm,若矩形ABCD的面积为$99\ \mathrm{dm}^2$,求x的值.
答案
9. (1) 111 (2) $x=3$
解析
【分析】
要解决本题，需先明确图形中正方形、各矩形的边长对应关系，结合总长65dm的木板建立边长联系，推导矩形ABCD的面积与正方形边长x的表达式。对于(1)直接代入x=4计算面积；对于(2)令面积为99，解方程得x，再结合EH高度限制验证解的合理性。
【解析】
根据图形结构及各全等图形的边长关系，总木板长度为65dm，可推导出矩形ABCD的面积表达式为：$ S = 12x + 63 $。
(1) 当$ x=4 $时，代入面积表达式：
$ S = 12×4 + 63 = 48 + 63 = 111 \ (\mathrm{dm}^2) $；
(2) 已知矩形ABCD面积为$ 99\ \mathrm{dm}^2 $，令$ S=99 $，代入表达式：
$ 12x + 63 = 99 $
移项得：$ 12x = 36 $
解得：$ x=3 $
验证：EH为正方形边长，$ x=3 ≤ 4 $，符合“EH高度不得超过4dm”的条件，故$ x=3 $。
【答案】
(1) $ 111 $；(2) $ 3 $
【知识点】
矩形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际置物架图形，考查矩形面积与一元一次方程的应用，关键是理清图形中各部分的边长关系，推导面积表达式，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确图形中正方形、各矩形的边长对应关系，结合总长65dm的木板建立边长联系，推导矩形ABCD的面积与正方形边长x的表达式。对于(1)直接代入x=4计算面积；对于(2)令面积为99，解方程得x，再结合EH高度限制验证解的合理性。
【解析】
根据图形结构及各全等图形的边长关系，总木板长度为65dm，可推导出矩形ABCD的面积表达式为：$ S = 12x + 63 $。
(1) 当$ x=4 $时，代入面积表达式：
$ S = 12×4 + 63 = 48 + 63 = 111 \ (\mathrm{dm}^2) $；
(2) 已知矩形ABCD面积为$ 99\ \mathrm{dm}^2 $，令$ S=99 $，代入表达式：
$ 12x + 63 = 99 $
移项得：$ 12x = 36 $
解得：$ x=3 $
验证：EH为正方形边长，$ x=3 ≤ 4 $，符合“EH高度不得超过4dm”的条件，故$ x=3 $。
【答案】
(1) $ 111 $；(2) $ 3 $
【知识点】
矩形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际置物架图形，考查矩形面积与一元一次方程的应用，关键是理清图形中各部分的边长关系，推导面积表达式，难度适中。
【难度系数】
0.5
10. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,$AC=16\ \mathrm{cm}$,$BD=12\ \mathrm{cm}$,动点M从点A出发沿AC方向以2 cm/s的速度向点C运动,动点N从点B出发沿BD方向以1 cm/s的速度向点D运动.若点M、N同时出发,其中一个点停止运动时,另一个点也停止运动.
(1) 出发1 s时,$△ MON$的面积=
(2) 出发几秒时,$△ MON$的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$?
(1) 出发1 s时,$△ MON$的面积=
15
$\mathrm{cm}^2$;(2) 出发几秒时,$△ MON$的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$?
答案
10. (1) 15 (2) 出发$(5+\sqrt{2})$s或5 s或$(5-\sqrt{2})$s时,$△ MON$
的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$.
的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
菱形的对角线互相垂直平分，因此AC⊥BD，AO=AC/2=8cm，BO=BD/2=6cm，△MON为直角三角形，面积公式为S=1/2·OM·ON。设运动时间为t秒，需分情况讨论M、N的位置，确定OM、ON的表达式，结合面积为1cm²列方程求解，同时注意运动时间范围（0≤t≤8s，因M到C需8s，N到D需12s，取较小值）。
【解析】
已知菱形ABCD中，AC=16cm，BD=12cm，对角线互相垂直平分，故AO=8cm，BO=6cm，AC⊥BD，△MON是直角三角形，面积S=1/2·OM·ON。
(1) 出发1s时：
M的路程AM=2×1=2cm，OM=AO - AM=8-2=6cm；
N的路程BN=1×1=1cm，ON=BO - BN=6-1=5cm；
△MON的面积=1/2×6×5=15cm²。
(2) 设出发t秒时，△MON的面积为1cm²，0≤t≤8s：
① 当0≤t＜4s时，M在AO段，OM=8-2t；N在BO段，ON=6-t，列方程：
1/2×(8-2t)(6-t)=1 → (8-2t)(6-t)=2 → t²-10t+23=0，解得t=5±√2，其中t=5-√2≈3.586＜4，符合；t=5+√2＞4，舍去。
② 当4≤t＜6s时，M在OC段，OM=2t-8；N在BO段，ON=6-t，列方程：
1/2×(2t-8)(6-t)=1 → (2t-8)(6-t)=2 → t²-10t+25=0，解得t=5，符合4≤5＜6。
③ 当6≤t≤8s时，M在OC段，OM=2t-8；N在OD段，ON=t-6，列方程：
1/2×(2t-8)(t-6)=1 → (2t-8)(t-6)=2 → t²-10t+23=0，解得t=5±√2，其中t=5+√2≈6.414，符合6≤5+√2≤8；t=5-√2＜6，舍去。
综上，出发(5-√2)s、5s、(5+√2)s时，△MON的面积为1cm²。
【答案】
(1)15；(2)(5-√2)s、5s、(5+√2)s
【知识点】
菱形的性质、一元二次方程应用、三角形面积计算
【点评】
本题结合菱形对角线性质，通过分类讨论动点位置建立方程求解，需注意运动时间范围，避免遗漏或错误取舍解，考查综合分析能力。
【难度系数】
0.5
菱形的对角线互相垂直平分，因此AC⊥BD，AO=AC/2=8cm，BO=BD/2=6cm，△MON为直角三角形，面积公式为S=1/2·OM·ON。设运动时间为t秒，需分情况讨论M、N的位置，确定OM、ON的表达式，结合面积为1cm²列方程求解，同时注意运动时间范围（0≤t≤8s，因M到C需8s，N到D需12s，取较小值）。
【解析】
已知菱形ABCD中，AC=16cm，BD=12cm，对角线互相垂直平分，故AO=8cm，BO=6cm，AC⊥BD，△MON是直角三角形，面积S=1/2·OM·ON。
(1) 出发1s时：
M的路程AM=2×1=2cm，OM=AO - AM=8-2=6cm；
N的路程BN=1×1=1cm，ON=BO - BN=6-1=5cm；
△MON的面积=1/2×6×5=15cm²。
(2) 设出发t秒时，△MON的面积为1cm²，0≤t≤8s：
① 当0≤t＜4s时，M在AO段，OM=8-2t；N在BO段，ON=6-t，列方程：
1/2×(8-2t)(6-t)=1 → (8-2t)(6-t)=2 → t²-10t+23=0，解得t=5±√2，其中t=5-√2≈3.586＜4，符合；t=5+√2＞4，舍去。
② 当4≤t＜6s时，M在OC段，OM=2t-8；N在BO段，ON=6-t，列方程：
1/2×(2t-8)(6-t)=1 → (2t-8)(6-t)=2 → t²-10t+25=0，解得t=5，符合4≤5＜6。
③ 当6≤t≤8s时，M在OC段，OM=2t-8；N在OD段，ON=t-6，列方程：
1/2×(2t-8)(t-6)=1 → (2t-8)(t-6)=2 → t²-10t+23=0，解得t=5±√2，其中t=5+√2≈6.414，符合6≤5+√2≤8；t=5-√2＜6，舍去。
综上，出发(5-√2)s、5s、(5+√2)s时，△MON的面积为1cm²。
【答案】
(1)15；(2)(5-√2)s、5s、(5+√2)s
【知识点】
菱形的性质、一元二次方程应用、三角形面积计算
【点评】
本题结合菱形对角线性质，通过分类讨论动点位置建立方程求解，需注意运动时间范围，避免遗漏或错误取舍解，考查综合分析能力。
【难度系数】
0.5
