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1. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()
A.25
B.14
C.7
D.7或25
A.25
B.14
C.7
D.7或25
答案
D
解析
分两种情况根据勾股定理计算：1. 若3和4均为直角边长，则第三边（斜边）的平方为$3^2+4^2=25$；2. 若4为斜边长，3为直角边长，则第三边的平方为$4^2-3^2=7$。因此第三边长的平方是7或25。
2. 下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是()
A.$a=1.5,b=2,c=3$
B.$a=7,b=24,c=25$
C.$a=6,b=8,c=10$
D.$a=3,b=4,c=5$
A.$a=1.5,b=2,c=3$
B.$a=7,b=24,c=25$
C.$a=6,b=8,c=10$
D.$a=3,b=4,c=5$
答案
A
解析
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各组数两短边的平方和是否等于最长边的平方：
A. $1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，$3^2=9$，$6.25≠9$，不满足直角三角形要求；
B. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2=625$，是直角三角形；
C. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2=100$，是直角三角形；
D. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2=25$，是直角三角形。
因此不是直角三角形的是A选项。
A. $1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，$3^2=9$，$6.25≠9$，不满足直角三角形要求；
B. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2=625$，是直角三角形；
C. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2=100$，是直角三角形；
D. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2=25$，是直角三角形。
因此不是直角三角形的是A选项。
3. 若用线段a,b,c组成一个直角三角形,则它们的比可能为()
A.2:3:4
B.3:4:6
C.5:12:13
D.4:6:7
A.2:3:4
B.3:4:6
C.5:12:13
D.4:6:7
答案
C
解析
根据勾股定理的逆定理，若线段a,b,c组成直角三角形，则两较短边的平方和等于最长边的平方。设各选项中三边为对应比值乘正数k（k＞0）逐一验证：
1. 选项A：$(2k)^2+(3k)^2=13k^2 ≠ (4k)^2=16k^2$，不符合要求；
2. 选项B：$(3k)^2+(4k)^2=25k^2 ≠ (6k)^2=36k^2$，不符合要求；
3. 选项C：$(5k)^2+(12k)^2=169k^2=(13k)^2$，符合直角三角形条件；
4. 选项D：$(4k)^2+(6k)^2=52k^2 ≠ (7k)^2=49k^2$，不符合要求。
1. 选项A：$(2k)^2+(3k)^2=13k^2 ≠ (4k)^2=16k^2$，不符合要求；
2. 选项B：$(3k)^2+(4k)^2=25k^2 ≠ (6k)^2=36k^2$，不符合要求；
3. 选项C：$(5k)^2+(12k)^2=169k^2=(13k)^2$，符合直角三角形条件；
4. 选项D：$(4k)^2+(6k)^2=52k^2 ≠ (7k)^2=49k^2$，不符合要求。
4. $△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，则该三角形为()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
答案
B
解析
计算三边的平方：$AB^2=6^2=36$，$AC^2=8^2=64$，$BC^2=10^2=100$，可得$AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可判断该三角形为直角三角形。
5. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若a=5,b=12,则c=.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ 由勾股定理可得 $c^2=a^2+b^2$。
将$a=5$，$b=12$代入得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ 由勾股定理可得 $c^2=a^2+b^2$。
将$a=5$，$b=12$代入得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，若$a:b = 3:4$，$c = 10$，则$S_{\mathrm{Rt}△ ABC} =$.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$a:b = 3:4$
∴ 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$）
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
将$c=10$代入得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$
$9k^2 + 16k^2 = 100$
$25k^2 = 100$
$k^2=4$
∵ $k＞0$，∴ $k=2$
∴ $a=6$，$b=8$
$S_{\mathrm{Rt}△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
最终
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$a:b = 3:4$
∴ 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$）
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
将$c=10$代入得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$
$9k^2 + 16k^2 = 100$
$25k^2 = 100$
$k^2=4$
∵ $k＞0$，∴ $k=2$
∴ $a=6$，$b=8$
$S_{\mathrm{Rt}△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
最终
7. 直角三角形两直角边边长分别为5和12,则它斜边上的高为.
答案
$\boldsymbol{\frac{60}{13}}$
解析
解：
由勾股定理，得该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
设斜边上的高为$h$，根据直角三角形面积的两种不同计算方式，可得：
$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$
化简得$60 = 13h$，解得$h = \frac{60}{13}$。
由勾股定理，得该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
设斜边上的高为$h$，根据直角三角形面积的两种不同计算方式，可得：
$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$
化简得$60 = 13h$，解得$h = \frac{60}{13}$。
8.若一个直角三角形两直角边的比为$5:12$,则它的斜边上的高与斜边的比为（）
A.$60:13$
B.$5:12$
C.$12:13$
D.$60:169$
A.$60:13$
B.$5:12$
C.$12:13$
D.$60:169$
答案
D
解析
设直角三角形的两直角边分别为$5k$、$12k$（$k＞0$），
1. 由勾股定理计算斜边长：
斜边$=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$。
2. 设斜边上的高为$h$，根据直角三角形面积的两种表示方法：
$\frac{1}{2}×5k×12k=\frac{1}{2}×13k× h$，
化简得$30k^2=\frac{13k}{2}· h$，解得$h=\frac{60k}{13}$。
3. 计算斜边上的高与斜边的比：
$h:斜边=\frac{60k}{13}:13k=60:169$。
1. 由勾股定理计算斜边长：
斜边$=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$。
2. 设斜边上的高为$h$，根据直角三角形面积的两种表示方法：
$\frac{1}{2}×5k×12k=\frac{1}{2}×13k× h$，
化简得$30k^2=\frac{13k}{2}· h$，解得$h=\frac{60k}{13}$。
3. 计算斜边上的高与斜边的比：
$h:斜边=\frac{60k}{13}:13k=60:169$。
