6. 如图,∠1 = ∠2,添加下列条件,仍无法判定△ABC∽△ADE 的是()

A.$\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$
B.$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}$
C.∠B = ∠D
D.∠C = ∠AED

B

已知∠1=∠2，即∠BAC=∠DAE。
选项A：$\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$，两边对应成比例且夹角相等，可判定相似。
选项B：$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}$，不是夹等角的两边对应成比例，无法判定相似。
选项C：∠B=∠D，两角对应相等，可判定相似。
选项D：∠C=∠AED，两角对应相等，可判定相似。

7. 如图,在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,连结 CP. 要使△ACP∽△ABC,只需添加条件。

∠ACP=∠B（或$AC^2 = AP \cdot AB$，答案不唯一）

在△ACP和△ABC中，∠A是公共角。根据相似三角形的判定定理（有两个角对应相等的两个三角形相似），若添加条件∠ACP=∠B，则可判定△ACP∽△ABC；根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），若添加条件$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$（即$AC^2 = AP \cdot AB$），也可判定△ACP∽△ABC。

▲8. 如图,已知∠BAD = ∠CAE,AB·AE = AD·AC. 求证：∠C = ∠E.

证明：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
∵AB·AE=AD·AC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE} \\∠BAC=∠DAE \end{cases}$
∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴∠C=∠E。

★9. 如图,在△ABC 中,AB = 8cm,BC = 16cm,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动,如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发,多少秒后△PBQ 与△ABC 相似？

$ 0.8 $秒或$ 2 $秒。

设经过$ t $秒后$\triangle PBQ$与$\triangle ABC$相似。
确定线段长度及取值范围
$ AP = 2t \, cm $，则 $ PB = AB - AP = (8 - 2t) \, cm $；
$ BQ = 4t \, cm $；
由题意，$ t $的取值范围为 $ 0 \leq t \leq 4 $（$ P $、$ Q $分别在4秒内到达终点）。
相似三角形的判定（公共角$\angle B$）
$\triangle PBQ$与$\triangle ABC$有公共角$\angle B$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，分两种情况讨论：
情况1：$\triangle PBQ \sim \triangle ABC$
此时对应边比例为$\frac{PB}{AB} = \frac{BQ}{BC}$，即：
$\frac{8 - 2t}{8} = \frac{4t}{16}$
化简得：
$\frac{8 - 2t}{8} = \frac{t}{4} \implies 8 - 2t = 2t \implies 4t = 8 \implies t = 2$
$ t = 2 $在$ 0 \leq t \leq 4 $范围内，符合题意。
情况2：$\triangle PBQ \sim \triangle CBA$
此时对应边比例为$\frac{PB}{BC} = \frac{BQ}{AB}$，即：
$\frac{8 - 2t}{16} = \frac{4t}{8}$
化简得：
$\frac{8 - 2t}{16} = \frac{t}{2} \implies 8 - 2t = 8t \implies 10t = 8 \implies t = 0.8$
$ t = 0.8 $在$ 0 \leq t \leq 4 $范围内，符合题意。
结论
$ 0.8 $秒或$ 2 $秒后$\triangle PBQ$与$\triangle ABC$相似。