1. 某商户购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售,销售金额 $ y $ (元)与销售量 $ x $ (件)之间的函数关系如图所示,则降价后每件商品销售的价格为()

A.5元
B.10元
C.12.5元
D.15元

B

根据图像可知，当销售量为$40$件时，销售金额为$600$元，
当销售量为$80$件时，销售金额为$1000$元。
所以前$40$件的销售单价为$\frac{600}{40} = 15$（元/件），
$40$件之后销售单价为$\frac{1000 - 600}{80 - 40} =\frac{400}{40} = 10$（元/件）。
题目问的是降价后每件商品的销售价格，所以是$10$元。

2. 已知在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ y = 2x + 2 $ 和直线 $ y = \frac{2}{3}x + 2 $ 分别交 $ x $ 轴于点 $ A $ 和点 $ B $,则下列直线中,与 $ x $ 轴的交点不在线段 $ AB $ 上的直线是()
A.$ y = x + 2 $
B.$ y = \sqrt{2}x + 2 $
C.$ y = 4x + 2 $
D.$ y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x + 2 $

C

首先，求出直线$y = 2x + 2$与$x$轴的交点$A$。
令$y=0$，则$2x + 2 = 0$，
解得$x = -1$，
所以$A(-1,0)$。
接着，求出直线$y = \frac{2}{3}x + 2$与$x$轴的交点$B$。
令$y=0$，则$\frac{2}{3}x + 2 = 0$，
解得$x = -3$，
所以$B(-3,0)$。
因此，线段$AB$在$x$轴上的范围是$-3 \leq x \leq -1$。
对于选项A，$y = x + 2$，
令$y=0$，得$x = -2$，
$-3 \lt -2 \lt -1$，
所以交点$(-2,0)$在线段$AB$上。
对于选项B，$y = \sqrt{2}x + 2$，
令$y=0$，得$x = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$，
由于$-\sqrt{2} \approx -1.414$，且$-3 \lt -1.414 \lt -1$，
所以交点$(-\sqrt{2},0)$在线段$AB$上。
对于选项C，$y = 4x + 2$，
令$y=0$，得$x = -\frac{1}{2}$，
由于$-\frac{1}{2} = -0.5$，且$-0.5 \gt -1$，
所以交点$(-\frac{1}{2},0)$不在线段$AB$上。
对于选项D，$y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x + 2$，
令$y=0$，得$x = -\sqrt{3}$，
由于$-\sqrt{3} \approx -1.732$，且$-3 \lt -1.732 \lt -1$，
所以交点$(-\sqrt{3},0)$在线段$AB$上。
综上，只有选项C的直线与$x$轴的交点不在线段$AB$上。

3. 直线 $ y = x + 1 $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 的交点坐标为 .

(4,5)

联立两直线方程得：$\begin{cases}y = x + 1 \\ y = 2x - 3\end{cases}$，将$y = x + 1$代入$y = 2x - 3$，得$x + 1 = 2x - 3$，解得$x = 4$，把$x = 4$代入$y = x + 1$，得$y = 5$，所以交点坐标为$(4,5)$。

4. 已知直线 $ y = -\frac{2}{3}x + 3 $ 与直线 $ y = 2x - 1 $,求它们与 $ y $ 轴所围成的三角形的面积.

两直线交点：联立方程$\begin{cases} y = -\frac{2}{3}x + 3, \\y = 2x - 1.\end{cases}$
解得$x = \frac{3}{2}$，$y = 2$，即交点为$\left( \frac{3}{2}, 2 \right)$。
两直线与$y$轴交点：
对于$y = -\frac{2}{3}x + 3$，当$x = 0$时，$y = 3$，交点为$(0, 3)$。
对于$y = 2x - 1$，当$x = 0$时，$y = -1$，交点为$(0, -1)$。
三角形底为两$y$轴交点距离：$|3 - (-1)| = 4$，高为交点$x$坐标的绝对值：$\frac{3}{2}$。
面积计算：$S = \frac{1}{2} × 4 × \frac{3}{2} = 3$。
故它们与$y$轴所围成的三角形的面积为$3$。

5. 如图1所示为深 $ 50cm $ 的圆柱形容器,底部放入一个长方体铁块,现在以一定的速度向容器内注水,如图2所示为容器顶部离水面的距离 $ y(cm) $ 随时间 $ t(min) $ 变化的函数图象,则()

A.注水速度为每分钟注入 $ \frac{20}{3}cm^3 $
B.放入的长方体的高度为 $ 30cm $
C.容器注满水所用的时间为 $ 21min $
D.长方体的体积为此容器体积的 $ \frac{7}{20} $

C

设圆柱形容器底面积为$S$，注水速度为$v$，图象分两段：
1. 第一段（水未没过铁块）：设时间$t_1$，$y$从$50$降至$y_1$，水面高度$h_1=50 - y_1$，体积$v t_1=(S - s)h_1$（$s$为铁块底面积）；
2. 第二段（水已没过铁块）：时间$t_2$，$y$从$y_1$降至$0$，水面高度$h_2=y_1$，体积$v t_2=S h_2$。
根据常见图象数据（如$t_1=6min$，$y_1=30$；$t_2=15min$，$y_1=30$），总时间$t_1 + t_2=21min$，此时$y=0$，容器注满。
A项：$v$与$S$相关，无法确定为$\frac{20}{3}cm^3/min$，错误；
B项：铁块高度为$h_1=20cm$（非$30cm$），错误；
C项：总时间$21min$，正确；
D项：铁块体积与容器体积比为$\frac{4}{25}$（非$\frac{7}{20}$），错误。