1. 在比例式$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}= \frac{1}{\sqrt{3}}$中,两个内项的积是.

$\sqrt{6}$（题目是填空题，直接填$\sqrt{6}$）

在比例式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$中，$b$和$c$是两个内项，根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积。
在比例式$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$中，两个内项是$\sqrt{6}$和$1$，它们的积为$\sqrt{6}×1 = \sqrt{6}$（根据比例基本性质也可通过外项积$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$得到）。

2. 若$5a = 4b$,则$a:b = $. 若$\frac{x}{3}= \frac{y}{4}$,则$x:y = $.

$4:5$；$3:4$

1. 对于 $5a = 4b$，两边同时除以 $5b$（假设 $b \neq 0$），得到 $\frac{a}{b} = \frac{4}{5}$，所以 $a:b = 4:5$。
2. 对于 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$，交叉相乘得 $4x = 3y$，两边同时除以 $y$ 并整理得 $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$，所以 $x:y = 3:4$。

3. 若$m:n = 2:3$,则$\frac{2m - n}{m + n}= $.

$\frac{1}{5}$

因为$m:n = 2:3$，设$m = 2k$，$n = 3k$（$k≠0$）。则$\frac{2m - n}{m + n} = \frac{2×2k - 3k}{2k + 3k} = \frac{4k - 3k}{5k} = \frac{k}{5k} = \frac{1}{5}$。

4. 已知$\frac{a}{b}= \frac{2}{3}$,则$\frac{a + b}{b}$的值为()
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{3}{5}$

C

因为$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$

5. 判断$2-\sqrt{2}$,$1$,$2$,$2+\sqrt{2}$四个数是否成比例. 如果成比例,试写出一个比例式.

答题卡作答：
将四个数按从小到大排序：$1$，$2 - \sqrt{2}$（约$0.59$）不对（实际$1＜2 - \sqrt{2}$不成立），准确排序为：
$2 - \sqrt{2} \approx 0.59$，$1$，$2$，$2 + \sqrt{2} \approx 3.41$。
计算外项之积：$(2 - \sqrt{2}) × (2 + \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$。
计算内项之积：$1 × 2 = 2$。
因为外项之积等于内项之积，所以四个数成比例。
比例式可写为：$2 - \sqrt{2}:1 = 2:2 + \sqrt{2}$（答案不唯一）。

6. 求下列比例式中的$x$.
(1)$\frac{x}{2}= \frac{x + 1}{3}$.
(2)$\frac{x}{x + 1}= \frac{x - 1}{2}$.

(1)$x = 2$；
(2)$x = 1+\sqrt{2}$或$x = 1-\sqrt{2}$。

(1)
根据比例的基本性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$ad = bc$。
对于$\frac{x}{2}=\frac{x + 1}{3}$，可得$3x = 2(x + 1)$。
去括号：$3x = 2x+2$。
移项：$3x - 2x = 2$。
解得：$x = 2$。
(2)
由$\frac{x}{x + 1}=\frac{x - 1}{2}$，根据比例基本性质得$2x=(x + 1)(x - 1)$。
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，则$(x + 1)(x - 1)=x^2 - 1$，所以$2x=x^2 - 1$。
移项化为标准一元二次方程形式：$x^2-2x - 1 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，其求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，在$x^2-2x - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$。
先求$b^2 - 4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=4 + 4 = 8$。
则$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$。