【例1】用直接开平方法解下列方程：
(1)$9x^{2}-25= 0;$
(2)$2(\sqrt {2}x-3)^{2}= 12;$
(3)$4(3x-2)^{2}-9(3x+1)^{2}= 0.$
【思路点拨】将方程整理成$x^{2}= p(p≥0)或(mx+n)^{2}= p(p≥0)$的形式,有时也可将方程整理成$(mx+n)^{2}= a(bx+c)^{2}$的形式,然后直接开平方.
【解答】

(1) 解：
由 $9x^{2} - 25 = 0$，
得 $9x^{2} = 25$，
进一步得 $x^{2} = \frac{25}{9}$，
根据平方根的定义，得 $x = \pm \sqrt{\frac{25}{9}} = \pm \frac{5}{3}$，
所以，$x_{1} = \frac{5}{3}$，$x_{2} = - \frac{5}{3}$。
(2) 解：
由 $2(\sqrt{2}x - 3)^{2} = 12$，
得 $(\sqrt{2}x - 3)^{2} = 6$，
根据平方根的定义，得 $\sqrt{2}x - 3 = \pm \sqrt{6}$，
进一步解得 $x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}{2}$，
所以，$x_{1} = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2}$，$x_{2} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{2}$。
(3) 解：
由 $4(3x - 2)^{2} - 9(3x + 1)^{2} = 0$，
利用平方差公式，得 $\lbrack 2(3x - 2) + 3(3x + 1)\rbrack\lbrack 2(3x - 2) - 3(3x + 1)\rbrack = 0$，
即 $(15x - 1)(-3x - 7) = 0$，
根据零因子定理，得 $15x - 1 = 0$ 或 $-3x - 7 = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{1}{15}$，$x_{2} = - \frac{7}{3}$。

【例2】用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}-4x-3= 0;$
(2)$x^{2}+5x-6= 0.$
【思路点拨】配方时,二次项系数为1时,用二次项、一次项再配上适当的常数项,使其成为完全平方式,再将"多余"的常数项移至右边,再用开平方法.
【解答】

(1) $x_{1} = 2 + \sqrt{7}$， $x_{2} = 2 - \sqrt{7}$
(2) $x_{1} = 1$， $x_{2} = -6$

(1) 对于方程 $x^{2}-4x-3= 0$
移项得 $x^{2}-4x = 3$，
为了配方，我们需要加上 $4$（即$(-4/2)^{2}$）到等式的两边，
得 $x^{2}-4x + 4 = 7$，
这可以写为 $(x-2)^{2} = 7$，
开方得 $x-2 = \pm \sqrt{7}$，
所以 $x_{1} = 2 + \sqrt{7}$， $x_{2} = 2 - \sqrt{7}$。
(2) 对于方程 $x^{2}+5x-6= 0$，
移项得 $x^{2}+5x = 6$，
为了配方，我们需要加上 $\frac{25}{4}$（即$(5/2)^{2}$）到等式的两边，
得 $x^{2}+5x + \frac{25}{4} = \frac{49}{4}$，
这可以写为 $(x+\frac{5}{2})^{2} = \frac{49}{4}$，
开方得 $x+\frac{5}{2} = \pm \frac{7}{2}$，
所以 $x_{1} = 1$， $x_{2} = -6$。

1. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-m= 0,$用配方法解此方程,配方后的方程是 ()
A.$(x-1)^{2}= m+1$
B.$(x+1)^{2}= m+1$
C.$(x-1)^{2}= m^{2}+1$
D.$(x+1)^{2}= m^{2}+1$

$x^{2} - 2x - m = 0$，
移项，得：
$x^{2} - 2x = m$，
为了配方，我们在等式的两边都加上1（因为$(-1)^{2} = 1$，其中-1是$x$项系数的一半）：
$x^{2} - 2x + 1 = m + 1$，
配方，得：
$(x - 1)^{2} = m + 1$。
故答案为A。

2. 解方程$(x+2)^{2}= 9$的最适当的方法是 ()
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

答题卡：
解方程$(x+2)^{2}= 9$的最适当的方法是：A。
直接开平方法适用于已经是一个完全平方形式的一元二次方程，本题方程左边为$(x+2)^{2}$，是一个完全平方形式，右边为常数9，因此可以直接开平方求解。
故答案为：A。

3. 一元二次方程$(x-1)^{2}= 2$的解是 ()
A.$x_{1}= -1-\sqrt {2},x_{2}= -1+\sqrt {2}$
B.$x_{1}= 1-\sqrt {2},x_{2}= 1+\sqrt {2}$
C.$x_{1}= 3,x_{2}= -1$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= -3$

B

给定方程为 $(x-1)^{2} = 2$。
首先，对方程两边同时开平方，得到
$x - 1 = \pm \sqrt{2}$
然后，将方程拆分为两个一元一次方程来求解 $x$ 的值。
对于 $x - 1 = \sqrt{2}$，解得 $x_1 = 1 + \sqrt{2}$。
对于 $x - 1 = -\sqrt{2}$，解得 $x_2 = 1 - \sqrt{2}$。

4. 用配方法解下列方程时,配方有错误的是 ()
A.$x^{2}-2x-99= 0化为(x-1)^{2}= 100$
B.$2t^{2}-7t-4= 0化为(t-\frac {7}{4})^{2}= \frac {81}{16}$
C.$x^{2}+8x+9= 0化为(x+4)^{2}= 25$
D.$3x^{2}-4x-2= 0化为(x-\frac {2}{3})^{2}= \frac {10}{9}$

C

对于选项A：
原方程$x^{2}-2x-99= 0$，
移项得$x^{2}-2x=99$，
配方得$(x-1)^{2}= 100$，
与选项A一致，所以A是正确的。
对于选项B：
原方程$2t^{2}-7t-4= 0$，
二次项系数化为1得$t^{2}-\frac{7}{2}t=2$，
移项得$t^{2}-\frac{7}{2}t=2$，
配方得$(t-\frac {7}{4})^{2}= \frac {81}{16}$，
与选项B一致，所以B是正确的。
对于选项C：
原方程$x^{2}+8x+9= 0$，
移项得$x^{2}+8x=-9$，
配方得$(x+4)^{2}=7$，
与选项C中的$(x+4)^{2}=25$不一致，所以C是错误的。
对于选项D：
原方程$3x^{2}-4x-2= 0$，
二次项系数化为1得$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}$，
移项得$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}$，
配方得$(x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{10}{9}$，
与选项D一致，所以D是正确的。

5. 方程$(x-1)^{2}= 9$的根为.

$\because(x - 1)^{2}=9$
$\therefore x - 1 = \pm3$
当$x - 1 = 3$时，$x = 4$；
当$x - 1 = -3$时，$x = -2$。
所以方程$(x - 1)^{2}=9$的根为$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$。
故答案为：$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$。

6. 一元二次方程$(2x-1)^{2}= (3-x)^{2}$的解是 .

方程的解为 $x_{1} = \frac{4}{3}$，$x_{2} = -2$，由于本题为填空题，故直接填写$x_{1} = \frac{4}{3}$，$x_{2} = -2$。

首先，我们有方程 $(2x-1)^{2} = (3-x)^{2}$。
根据平方数的性质，如果两个数的平方相等，那么这两个数要么相等，要么互为相反数。
因此，我们可以得到两个方程：
$2x - 1 = 3 - x$
$2x - 1 = -(3 - x)$
对于第一个方程 $2x - 1 = 3 - x$，解得 $x = \frac{4}{3}$。
对于第二个方程 $2x - 1 = -(3 - x)$，化简得 $2x - 1 = x - 3$，进一步解得 $x = -2$。

7. 若分式$\frac {x^{2}-9}{x-3}= 0$的值为0,则$x= $.

答题卡：
解：
由于分式值为0，需要满足分子为0且分母不为0的条件。
首先解分子等于0的方程：
$x^{2} - 9 = 0$
这是一个差平方的形式，可以分解为：
$(x+3)(x-3) = 0$
解得：
$x = 3 \quad 或 \quad x = -3$
然后考虑分母不为0的条件：
$x - 3 \neq 0$
即：
$x \neq 3$
综合以上两个条件，得出：
$x = -3$
故答案为：$-3$。

8. 在实数范围内定义运算"☆",其规则为 $a☆b= a^{2}-b^{2}$,则方程$(4☆3)☆x= 13$的解 $x= $.

首先，根据运算规则 $a☆b = a^{2} - b^{2}$，计算 $4☆3$：
$4☆3 = 4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7$
然后，将 $4☆3$ 的结果代入方程 $(4☆3)☆x = 13$，得到：
$7☆x = 13$
根据运算规则，进一步展开方程：
$7^{2} - x^{2} = 13$
$49 - x^{2} = 13$
移项，得到：
$x^{2} = 36$
最后，解方程得到 $x$ 的值：
$x = \pm 6$
故答案为：$x = \pm 6$。