1. 填空题:
(1) 如图,点A、B、C、D在$\odot O$上,点E在$\odot O$内,点F在$\odot O$外,写出$\widehat {AB}$所对的圆周角:
(1) 如图,点A、B、C、D在$\odot O$上,点E在$\odot O$内,点F在$\odot O$外,写出$\widehat {AB}$所对的圆周角:
$\angle ACB$，$\angle ADB$
;答案
【解析】：本题主要考查圆周角的定义，即顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，同时要知道同弧所对的圆周角有无数个。
观察图形可知，弧AB所对的圆周角，就是顶点在圆上，两边分别与圆相交且所对的弧为弧AB的角。
从图中可以看出，这样的圆周角有$\angle ACB$和$\angle ADB$ 。
【答案】：$\angle ACB$，$\angle ADB$
观察图形可知，弧AB所对的圆周角，就是顶点在圆上，两边分别与圆相交且所对的弧为弧AB的角。
从图中可以看出，这样的圆周角有$\angle ACB$和$\angle ADB$ 。
【答案】：$\angle ACB$，$\angle ADB$
(2) 如图,在$\odot O$中,AB是$\odot O$的直径,$\angle AOC= 120^{\circ }$,则$\angle D= $
60
°;答案
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=180° - ∠AOC=60°，
∴∠BAC=30°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
在Rt△ABD中，∠D=90° - ∠BAC=60°。
故答案为：60。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=180° - ∠AOC=60°，
∴∠BAC=30°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
在Rt△ABD中，∠D=90° - ∠BAC=60°。
故答案为：60。
(3) 如图,在$\odot O$中,$\widehat {AB}= \widehat {AC}$,$\angle B= 65^{\circ }$,则$\angle A= $
50
°.答案
解：∵在$\odot O$中，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴$AB=AC$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B=\angle C$。
∵$\angle B=65^{\circ}$，
∴$\angle C=65^{\circ}$。
∵三角形内角和为$180^{\circ}$，
∴$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
故答案为：$50$。
∴$AB=AC$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B=\angle C$。
∵$\angle B=65^{\circ}$，
∴$\angle C=65^{\circ}$。
∵三角形内角和为$180^{\circ}$，
∴$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
故答案为：$50$。
2. 选择题:
(1) 如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形的顶点,$\odot O$的半径为1,P是$\odot O$上的点,且位于右上方的小正方形内,则$\angle APB$等于(
A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$90^{\circ }$
(1) 如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形的顶点,$\odot O$的半径为1,P是$\odot O$上的点,且位于右上方的小正方形内,则$\angle APB$等于(
B
).A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$90^{\circ }$
答案
【解析】：本题可根据圆周角定理来求解$\angle APB$的度数。
圆周角定理为：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
在本题中，$\angle APB$是圆周角，$\angle AOB$是圆心角，它们所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$。
已知$\odot O$的半径为$1$，四个边长为$1$的小正方形拼成一个大正方形，$A$、$B$、$O$是小正方形的顶点，则$OA = OB = 1$，且$\angle AOB = 90^{\circ}$（因为大正方形的一个内角是$90^{\circ}$，$OA$、$OB$分别是相邻两个小正方形的边，所以$\angle AOB$就是大正方形的一个内角）。
根据圆周角定理，$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB$，将$\angle AOB = 90^{\circ}$代入可得：$\angle APB=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
【答案】：B
圆周角定理为：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
在本题中，$\angle APB$是圆周角，$\angle AOB$是圆心角，它们所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$。
已知$\odot O$的半径为$1$，四个边长为$1$的小正方形拼成一个大正方形，$A$、$B$、$O$是小正方形的顶点，则$OA = OB = 1$，且$\angle AOB = 90^{\circ}$（因为大正方形的一个内角是$90^{\circ}$，$OA$、$OB$分别是相邻两个小正方形的边，所以$\angle AOB$就是大正方形的一个内角）。
根据圆周角定理，$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB$，将$\angle AOB = 90^{\circ}$代入可得：$\angle APB=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
【答案】：B
(2) 如图,$\triangle ABC的顶点都在\odot O$上.已知$\angle BOC= 120^{\circ }$,则$\angle BAC$等于(
A.$60^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$150^{\circ }$
A
).A.$60^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$150^{\circ }$
答案
A
解析
∵∠BOC和∠BAC分别是$\odot O$中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角和圆周角，
∠BOC=120°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}×120^{\circ}=60^{\circ}$.
A
(3) 如图,AB、AC是$\odot O$的弦,延长CA到点D,使$AD= AB$.已知$\angle D= 20^{\circ }$,则$\angle BOC$等于(
A.$20^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$80^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
C
).A.$20^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$80^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
答案
【解析】：
本题主要考查了圆周角定理的应用。
首先，由于$AD = AB$，根据等腰三角形的性质，知道$\angle D = \angle ABD$。
题目给出$\angle D = 20^{\circ}$，所以$\angle ABD = 20^{\circ}$。
接着，利用三角形外角等于不相邻两内角之和的性质，可以求出$\angle BAC$。
$\angle BAC = \angle D + \angle ABD = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}$
最后，根据圆周角定理，圆周角等于它所对圆心角的一半，即$\angle BOC = 2\angle BAC$。
$\angle BOC = 2 × 40^{\circ} = 80^{\circ}$
【答案】：
C. $80^{\circ}$。
本题主要考查了圆周角定理的应用。
首先，由于$AD = AB$，根据等腰三角形的性质，知道$\angle D = \angle ABD$。
题目给出$\angle D = 20^{\circ}$，所以$\angle ABD = 20^{\circ}$。
接着，利用三角形外角等于不相邻两内角之和的性质，可以求出$\angle BAC$。
$\angle BAC = \angle D + \angle ABD = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}$
最后，根据圆周角定理，圆周角等于它所对圆心角的一半，即$\angle BOC = 2\angle BAC$。
$\angle BOC = 2 × 40^{\circ} = 80^{\circ}$
【答案】：
C. $80^{\circ}$。
