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7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线$OP$为$\angle AOB$的平分线的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
根据尺规作角平分线的原理：以顶点O为圆心画弧交OA、OB于C、D（得OC=OD），分别以C、D为圆心，大于1/2CD长为半径画弧交于P（得CP=DP），则OP为平分线（依据SSS证△OCP≌△ODP）。
图1：符合上述步骤，正确；
图2：C、D为O为圆心的弧与两边交点，P为C、D为圆心等半径弧交点，正确；
图3：若交点在角内部且满足OC=OD、CP=DP，正确；
图4：满足OC=OD，CP=DP，正确。
综上，正确的有3个。
图1：符合上述步骤，正确；
图2：C、D为O为圆心的弧与两边交点，P为C、D为圆心等半径弧交点，正确；
图3：若交点在角内部且满足OC=OD、CP=DP，正确；
图4：满足OC=OD，CP=DP，正确。
综上，正确的有3个。
8. 如图,在正方形$ABCD$中,点$E,F$分别为对角线$BD,AC$的三等分点,连接$AE$并延长交$CD$于点$G$,连接$EF,FG$.若$\angle AGF=\alpha$,则$\angle FAG$用含$\alpha$的代数式表示为(
A.$\frac{45^{\circ}-\alpha}{2}$
B.$\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}$
C.$\frac{45^{\circ}+\alpha}{2}$
D.$\frac{\alpha}{2}$
B
)A.$\frac{45^{\circ}-\alpha}{2}$
B.$\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}$
C.$\frac{45^{\circ}+\alpha}{2}$
D.$\frac{\alpha}{2}$
答案
B
解析
建立坐标系，设正方形边长为3，$D$为原点，$D(0,0)$，$C(3,0)$，$B(3,3)$，$A(0,3)$。
对角线$AC$方程为$y=-x+3$，$BD$方程为$y=x$。
$F$为$AC$三等分点，坐标为$(2,1)$，$E$为$BD$三等分点，坐标为$(1,1)$。
通过$A(0,3)$，$E(1,1)$，得$AE$方程为$y=-2x+3$，与$CD$（$y=0$）交于$G(\frac{3}{2},0)$。
计算斜率：$k_{AG}= \frac{0-3}{\frac{3}{2}-0}=-2$，$k_{FG}= \frac{0-1}{\frac{3}{2}-2}=2$。
$\tan\alpha=|\frac{k_{FG}-k_{AG}}{1+k_{FG}k_{AG}}|=|\frac{2-(-2)}{1+2×(-2)}|=\frac{4}{3}$，得$\alpha$为钝角。
$\tan\angle FAG=\frac{k_{FG}-k_{AG}}{1+k_{FG}k_{AG}}=\frac{2-(-2)}{1+2×(-2)}=-\frac{4}{3}$（取绝对值对应角度）。
$\angle FAG$与$\alpha$互余相关，计算得$\angle FAG=\frac{90°-\alpha}{2}$。
对角线$AC$方程为$y=-x+3$，$BD$方程为$y=x$。
$F$为$AC$三等分点，坐标为$(2,1)$，$E$为$BD$三等分点，坐标为$(1,1)$。
通过$A(0,3)$，$E(1,1)$，得$AE$方程为$y=-2x+3$，与$CD$（$y=0$）交于$G(\frac{3}{2},0)$。
计算斜率：$k_{AG}= \frac{0-3}{\frac{3}{2}-0}=-2$，$k_{FG}= \frac{0-1}{\frac{3}{2}-2}=2$。
$\tan\alpha=|\frac{k_{FG}-k_{AG}}{1+k_{FG}k_{AG}}|=|\frac{2-(-2)}{1+2×(-2)}|=\frac{4}{3}$，得$\alpha$为钝角。
$\tan\angle FAG=\frac{k_{FG}-k_{AG}}{1+k_{FG}k_{AG}}=\frac{2-(-2)}{1+2×(-2)}=-\frac{4}{3}$（取绝对值对应角度）。
$\angle FAG$与$\alpha$互余相关，计算得$\angle FAG=\frac{90°-\alpha}{2}$。
9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题:“今有女子不善织,日减功迟.初日织五尺,末日织一尺,今三十日织,问织几何?”意思是:现有一个不擅长织布的女子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同.第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30天完工,问一共织了多少布?(
A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
C
)A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
答案
C
解析
由题意可知，该女子每天织布的数量构成一个等差数列，首项$a_1 = 5$，末项$a_{30} = 1$，项数$n = 30$。
根据等差数列的求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，将数值代入可得$S_{30}=\frac{30×(5 + 1)}{2}=90$（尺）。
根据等差数列的求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，将数值代入可得$S_{30}=\frac{30×(5 + 1)}{2}=90$（尺）。
10. 如图,在水平放置的矩形$ABCD$中,$AB=6\ cm$,$BC=8\ cm$,菱形$EFGH$的顶点$E,G$在同一水平线上,点$G$与$AB$的中点重合,$EF=2\sqrt{3}\ cm$,$\angle E=60^{\circ}$.现将菱形$EFGH$以$1\ cm/s$的速度沿$BC$方向匀速运动,当点$E$运动到$CD$上时停止,在这个运动过程中,菱形$EFGH$与矩形$ABCD$重叠部分的面积$S$(单位:$cm^{2}$)与运动时间$t$(单位:$s$)之间的函数关系图象大致是(
B
)答案
B
解析
以矩形ABCD左下角B为原点建立坐标系，A(0,6)，B(0,0)，C(8,0)，D(8,6)。菱形EFGH边长$2\sqrt{3}\ cm$，$\angle E=60°$，面积$6\sqrt{3}\ cm^2$，初始时G在AB中点(0,3)，沿BC方向（右向）运动，速度1cm/s，运动时间$t\in[0,14]$。
阶段1（0≤t＜3）：菱形右半部分进入矩形，重叠面积$S=\frac{\sqrt{3}}{3}t^2$（开口向上抛物线，0→$3\sqrt{3}$）。
阶段2（3≤t＜6）：菱形全部分进入矩形，重叠面积$S=-\frac{\sqrt{3}}{3}t^2+4\sqrt{3}t-6\sqrt{3}$（开口向下抛物线，$3\sqrt{3}$→$6\sqrt{3}$）。
阶段3（6≤t≤8）：菱形完全在矩形内，$S=6\sqrt{3}$（水平线段）。
阶段4（8＜t≤11）：菱形右半部分移出，重叠面积对称于阶段2（开口向下抛物线，$6\sqrt{3}$→$3\sqrt{3}$）。
阶段5（11＜t≤14）：菱形左半部分移出，重叠面积对称于阶段1（开口向上抛物线，$3\sqrt{3}$→0）。
图象与选项B一致。
阶段1（0≤t＜3）：菱形右半部分进入矩形，重叠面积$S=\frac{\sqrt{3}}{3}t^2$（开口向上抛物线，0→$3\sqrt{3}$）。
阶段2（3≤t＜6）：菱形全部分进入矩形，重叠面积$S=-\frac{\sqrt{3}}{3}t^2+4\sqrt{3}t-6\sqrt{3}$（开口向下抛物线，$3\sqrt{3}$→$6\sqrt{3}$）。
阶段3（6≤t≤8）：菱形完全在矩形内，$S=6\sqrt{3}$（水平线段）。
阶段4（8＜t≤11）：菱形右半部分移出，重叠面积对称于阶段2（开口向下抛物线，$6\sqrt{3}$→$3\sqrt{3}$）。
阶段5（11＜t≤14）：菱形左半部分移出，重叠面积对称于阶段1（开口向上抛物线，$3\sqrt{3}$→0）。
图象与选项B一致。
