23. (本题 12 分)
如图,分别以$Rt\triangle ABC$的直角边 AC 及斜边 AB 为边向外作等边$\triangle ACD$,等边$\triangle ABE$.已知$∠BAC= 30^{\circ },EF⊥AB$,垂足为点 F,连接 DF.求证:
(1) $AC= EF$;
(2) 四边形 ADFE 是平行四边形;
(3) $AC⊥DF$.

(1) 证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=30°$，$\angle ACB=90°$，设$AB=2a$，则$BC=\frac{1}{2}AB=a$，$AC=AB\cos30°=2a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a$。
$\triangle ABE$是等边三角形，$EF\perp AB$，$\therefore AE=AB=2a$，$\angle EAF=60°$。在$Rt\triangle AEF$中，$EF=AE\sin60°=2a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a$。
$\therefore AC=EF$。
(2) 证明：$\triangle ACD$是等边三角形，$\therefore AC=AD$，$\angle CAD=60°$。由(1)知$AC=EF$，$\therefore AD=EF$。
$\angle DAB=\angle BAC+\angle CAD=30°+60°=90°$，$EF\perp AB$，$\therefore \angle EFA=90°$，$\therefore AD// EF$（同垂直于$AB$）。
$\because AD// EF$且$AD=EF$，$\therefore$四边形$ADFE$是平行四边形。
(3) 证明：在$Rt\triangle ADF$中，$AD=AC=\sqrt{3}a$，$AF=\frac{1}{2}AB=a$（等边三角形三线合一），$DF=\sqrt{AD^2+AF^2}=\sqrt{(\sqrt{3}a)^2+a^2}=2a$。
$\sin\angle ADF=\frac{AF}{DF}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$\therefore \angle ADF=30°$。
在$\triangle AGD$（$AC$与$DF$交点为$G$）中，$\angle GAD=60°$（等边三角形$\angle CAD=60°$），$\angle ADG=30°$，$\therefore \angle AGD=180°-60°-30°=90°$，$\therefore AC\perp DF$。