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11. 已知某人沿着坡度 $ i = 1 : \sqrt{3} $ 的山坡走了 $ 40\ m $，则他离地面的高度上升了
20
$ m $.答案
$20$
解析
设垂直高度为$x\ m$，水平距离为$\sqrt{3}x\ m$（因为坡度$i=1:\sqrt{3}$，即垂直高度与水平距离的比为$1:\sqrt{3}$）。
根据勾股定理，斜边的平方（即沿山坡走的距离的平方）等于垂直高度的平方加上水平距离的平方，可列：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2 = 40^2$，
$x^2 + 3x^2 = 1600$，
$4x^2 = 1600$，
$x^2 = 400$，
解得$x = 20$（负值舍去）。
所以，他离地面的高度上升了$20m$。
根据勾股定理，斜边的平方（即沿山坡走的距离的平方）等于垂直高度的平方加上水平距离的平方，可列：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2 = 40^2$，
$x^2 + 3x^2 = 1600$，
$4x^2 = 1600$，
$x^2 = 400$，
解得$x = 20$（负值舍去）。
所以，他离地面的高度上升了$20m$。
12. 某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价 $ x $（单位：元）与日销售量 $ y $（单位：个）之间有如下关系：
则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为
则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为
$y=\frac{60}{x}$
.答案
$y=\frac{60}{x}$
解析
由题意知，给定x与y的对应值，可以通过观察发现，每组x与y的乘积为同一常数（3×20=60， 4×15=60，5×12=60，6×10=60），表明x与y成反比例关系。设函数关系式为$y=\frac{k}{x}，$因为x=3时，y=20，代入得：k=xy=3×20=60，因此函数关系式为：$y=\frac{60}{x}。$
13. 若函数 $ y = (m + 4)x^{|m| - 5} $ 是反比例函数，则 $ m $ 的值为
4
.答案
$4$（或 填写为题目中给出的对应选项字母，若以选项形式出现则一般为如A/B等，但本题直接给出数值）
解析
反比例函数的一般形式为 $y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$），也可以写成 $y = kx^{-1}$。
已知函数 $y = (m + 4)x^{|m| - 5}$ 是反比例函数，那么它的指数部分必须为 $-1$，即：
$|m| - 5 = -1$，
解这个方程，得到：
$|m| = 4$，
这意味着 $m$ 可以是 $4$ 或 $-4$。
但是，反比例函数的系数 $m + 4$ 不能为 $0$，即：
$m + 4 \neq 0$，
$m \neq -4$，
因此，唯一符合条件的 $m$ 的值是 $4$。
已知函数 $y = (m + 4)x^{|m| - 5}$ 是反比例函数，那么它的指数部分必须为 $-1$，即：
$|m| - 5 = -1$，
解这个方程，得到：
$|m| = 4$，
这意味着 $m$ 可以是 $4$ 或 $-4$。
但是，反比例函数的系数 $m + 4$ 不能为 $0$，即：
$m + 4 \neq 0$，
$m \neq -4$，
因此，唯一符合条件的 $m$ 的值是 $4$。
14. 如图，反比例函数 $ y = -\frac{4}{x} $ 的图象与直线 $ y = -\frac{1}{3}x $ 的交点为 $ A $，$ B $，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的平行线，与过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的平行线相交于点 $ C $，则 $ \triangle ABC $ 的面积为
8
.答案
8
解析
联立 $ y = -\frac{4}{x} $ 与 $ y = -\frac{1}{3}x $，得 $ -\frac{4}{x} = -\frac{1}{3}x $，解得 $ x^2 = 12 $，$ x = \pm 2\sqrt{3} $。
当 $ x = 2\sqrt{3} $ 时，$ y = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $；当 $ x = -2\sqrt{3} $ 时，$ y = \frac{2\sqrt{3}}{3} $。
故交点 $ A(-2\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}) $，$ B(2\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}) $。
过 $ A $ 作 $ y $ 轴平行线：$ x = -2\sqrt{3} $；过 $ B $ 作 $ x $ 轴平行线：$ y = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $。
交点 $ C(-2\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}) $。
$ AC = \left| \frac{2\sqrt{3}}{3} - (-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \right| = \frac{4\sqrt{3}}{3} $，$ BC = \left| 2\sqrt{3} - (-2\sqrt{3}) \right| = 4\sqrt{3} $。
$ \triangle ABC $ 为直角三角形（$ AC \perp BC $），面积 $ S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × \frac{4\sqrt{3}}{3} × 4\sqrt{3} = 8 $。
当 $ x = 2\sqrt{3} $ 时，$ y = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $；当 $ x = -2\sqrt{3} $ 时，$ y = \frac{2\sqrt{3}}{3} $。
故交点 $ A(-2\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}) $，$ B(2\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}) $。
过 $ A $ 作 $ y $ 轴平行线：$ x = -2\sqrt{3} $；过 $ B $ 作 $ x $ 轴平行线：$ y = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $。
交点 $ C(-2\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}) $。
$ AC = \left| \frac{2\sqrt{3}}{3} - (-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \right| = \frac{4\sqrt{3}}{3} $，$ BC = \left| 2\sqrt{3} - (-2\sqrt{3}) \right| = 4\sqrt{3} $。
$ \triangle ABC $ 为直角三角形（$ AC \perp BC $），面积 $ S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × \frac{4\sqrt{3}}{3} × 4\sqrt{3} = 8 $。
15. 某数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为 $ 40\ m $，当无人机与旗杆的水平距离是 $ 45\ m $ 时，观测旗杆顶部的俯角为 $ 30^{\circ} $，则旗杆的高度约为
14
$ m $.（结果精确到 1 米.参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.41 $，$ \sqrt{3} \approx 1.73 $）答案
14
解析
过旗杆顶部作无人机飞行高度所在水平线的垂线，垂足为点A，无人机位置为点B，旗杆底部为点C，旗杆顶部为点D。则四边形ACDB为矩形，AC=45m，BC=40m，∠ABD=30°。在Rt△ABD中，tan∠ABD=AD/AB，即tan30°=AD/45，AD=45×(√3/3)=15√3≈15×1.73=25.95m。旗杆高度CD=BC-AD=40-25.95≈14m。
16. 已知点 $ A $ 为直线 $ y = -2x $ 上一点，过点 $ A $ 作 $ AB // x $ 轴，交双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 于点 $ B $.若点 $ A $ 与点 $ B $ 关于 $ y $ 轴对称，则点 $ A $ 的坐标为
$(\sqrt{2},-2\sqrt{2})$或$(-\sqrt{2},2\sqrt{2})$
.答案
$(\sqrt{2},-2\sqrt{2})$或$(-\sqrt{2},2\sqrt{2})$
解析
设点$A$的坐标为$(m,-2m)$，因为点$A$与点$B$关于$y$轴对称，则点$B$的坐标为$(-m,-2m)$。
又因为$AB// x$轴，且点$B$在双曲线$y = \frac{4}{x}$上，所以将$B(-m,-2m)$代入$y=\frac{4}{x}$，可得$-2m=\frac{4}{-m}$，即$2m^{2}=4$，$m^{2}=2$，解得$m = \pm\sqrt{2}$。
当$m=\sqrt{2}$时，$y=-2\sqrt{2}$；当$m = -\sqrt{2}$时，$y = 2\sqrt{2}$，而点$A$在$y = -2x$上，此时对应的$A$点坐标分别为$(\sqrt{2},-2\sqrt{2})$，$(-\sqrt{2},2\sqrt{2})$，又因为$AB// x$轴且$A$在$y=-2x$上，经检验两个点都满足条件。
又因为$AB// x$轴，且点$B$在双曲线$y = \frac{4}{x}$上，所以将$B(-m,-2m)$代入$y=\frac{4}{x}$，可得$-2m=\frac{4}{-m}$，即$2m^{2}=4$，$m^{2}=2$，解得$m = \pm\sqrt{2}$。
当$m=\sqrt{2}$时，$y=-2\sqrt{2}$；当$m = -\sqrt{2}$时，$y = 2\sqrt{2}$，而点$A$在$y = -2x$上，此时对应的$A$点坐标分别为$(\sqrt{2},-2\sqrt{2})$，$(-\sqrt{2},2\sqrt{2})$，又因为$AB// x$轴且$A$在$y=-2x$上，经检验两个点都满足条件。
17. （4 分）计算：$ (-\frac{1}{3})^{-2} - 16 ÷ (-2)^3 + (\tan 60^{\circ} - \pi)^0 - \sqrt{12} \cos 30^{\circ} $.
答案
$9$
解析
答题步骤：
原式$= (-\frac{1}{3})^{-2} - 16 ÷ (-2)^3 + (\tan 60^{\circ} - \pi)^0 - \sqrt{12} \cos 30^{\circ}$
计算 $(-\frac{1}{3})^{-2}$：
$(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
计算 $16 ÷ (-2)^3$：
$16 ÷ (-2)^3 = 16 ÷ (-8) = -2$
计算 $(\tan 60^{\circ} - \pi)^0$：
$(\tan 60^{\circ} - \pi)^0 = ( \sqrt{3} - \pi )^0 = 1$
计算 $\sqrt{12} \cos 30^{\circ}$：
$\sqrt{12} \cos 30^{\circ} = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$
将以上结果代入原式：
$9 - ( - 2) + 1 - 3 = 9 + 2 + 1 - 3 = 9$
最终
原式$= (-\frac{1}{3})^{-2} - 16 ÷ (-2)^3 + (\tan 60^{\circ} - \pi)^0 - \sqrt{12} \cos 30^{\circ}$
计算 $(-\frac{1}{3})^{-2}$：
$(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
计算 $16 ÷ (-2)^3$：
$16 ÷ (-2)^3 = 16 ÷ (-8) = -2$
计算 $(\tan 60^{\circ} - \pi)^0$：
$(\tan 60^{\circ} - \pi)^0 = ( \sqrt{3} - \pi )^0 = 1$
计算 $\sqrt{12} \cos 30^{\circ}$：
$\sqrt{12} \cos 30^{\circ} = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$
将以上结果代入原式：
$9 - ( - 2) + 1 - 3 = 9 + 2 + 1 - 3 = 9$
最终
