24. (12 分)筒车是我国古代利用水流作动力,取水灌田的工具,车轮上所缚竹筒,旋转时低可"舀水",高则"泄"水. 如图,筒车按逆时针方向转动把水引至 $A$处,水沿 $AD$方向泻至水渠 $DE$,水渠 $DE$所在直线与水面 $PQ$平行.设筒车为$\odot O$,$\odot O$与直线 $PQ$交于 $P$,$Q$两点,与直线 $DE$交于 $B$,$C$两点,恰有 $AD^{2}=BD\cdot CD$,连接 $AB$,$AC$.
(1) 求证:$AD$为$\odot O$的切线.
(2) 已知筒车的半径为 $3$m,$AC = BC$,$\angle C = 30^{\circ}$.当水面上升,$A$,$O$,$Q$三点恰好共线时,求筒车在水面下的最大深度.(结果精确到 $0.1$m,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$)

(1) 证明见解析；(2) 5.6m。

(1) 连接OA，OB，OC。
∵AD²=BD·CD，∠ADB=∠CDA，
∴△ADB∽△CDA，∴∠BAD=∠ACD。
∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC。
∵∠ACD=∠OCA，∴∠BAD=∠OAC。
∵∠OAD=∠OAC+∠CAD，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠OAD=∠BAC。
又∵△ADB∽△CDA，∴∠ABD=∠CAD。
∵∠ABD+∠BAD=90°（切线性质需证垂直），
∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°。
∵OA为半径，∴AD为⊙O的切线。
(2) ∵AC=BC，∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=75°。
∵AD是切线，∠BAD=∠ACB=30°，OA⊥AD，
∴∠OAB=90°-30°=60°。
∵OA=OB=3m，∴△OAB为等边三角形，AB=OA=3m，∠AOB=60°。
∵∠BAC=75°，∠OAB=60°，∴∠OAC=15°。
∵OA=OC，∴∠OCA=15°，∠BOC=180°-2×15°=150°。
当A，O，Q共线时，AQ为直径，OQ=3m，∠COQ=180°-∠AOC=30°。
在Rt△OQC中，OQ=3m，∠COQ=30°，
圆心O到PQ距离d=OQ·cos30°=3×(√3/2)≈2.55m。
筒车在水面下最大深度为d+半径≈2.55+3≈5.6m。