20. (12分)某商店春节前销售某种品牌的酒,已知每瓶进价为40元,生产厂家要求销售价不低于40元,且不高于70元.根据市场调查发现:若每瓶以50元销售,平均每天可销售90瓶,价格每降低1元,平均每天多销售3瓶,价格每升高1元,平均每天少销售3瓶.
(1) 写出平均每天销售量$y$(单位:瓶)与每瓶销售价$x$(单位:元)之间的函数关系式,并注明自变量的取值范围.
(2) 求该商店每天销售这种酒的毛利润$W$(单位:元)与每瓶酒的售价$x$(单位:元)之间的函数关系式,并注明自变量的取值范围.(每瓶的毛利润=售价-进价)
(3) 当每瓶酒的售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润是多少?

(1) 由题意，当销售价为$x$元时，与50元相比，价格变化量为$(x - 50)$元，销售量变化量为$-3(x - 50)$瓶。则销售量$y = 90 - 3(x - 50)$，化简得$y = -3x + 240$。自变量取值范围为$40 \leq x \leq 70$。
(2) 毛利润$W = (售价-进价) × 销售量 = (x - 40)y$，将$y = -3x + 240$代入，得$W = (x - 40)(-3x + 240) = -3x^2 + 360x - 9600$。自变量取值范围为$40 \leq x \leq 70$。
(3) $W = -3x^2 + 360x - 9600$，其中$a = -3 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{360}{2 × (-3)} = 60$。$60$在$40 \leq x \leq 70$内，当$x = 60$时，$W_{max} = -3 × 60^2 + 360 × 60 - 9600 = 1200$。
答：(1) $y = -3x + 240(40 \leq x \leq 70)$；(2) $W = -3x^2 + 360x - 9600(40 \leq x \leq 70)$；(3) 售价为60元时，平均每天利润最大，最大利润1200元。

21. (12分)如图,一次函数$y = x + b$和反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$交于点$A(4,1)$.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式;
(2) 求$\triangle AOB$的面积;
(3) 根据图象,直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时$x$的取值范围.

(1) 反比例函数$y=\frac{4}{x}$，一次函数$y=x-3$；(2) $6$；(3) $-1＜x＜0$或$x＞4$。

(1) 把点$A(4,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{4}$，解得$k=4$，故反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
把点$A(4,1)$代入一次函数$y=x+b$，得$1=4+b$，解得$b=-3$，故一次函数表达式为$y=x-3$。
(2) 对于一次函数$y=x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，则点$B$坐标为$(0,-3)$。
$OB=3$，点$A$到$y$轴距离为$4$，$\triangle AOB$面积为$\frac{1}{2}× OB× 4=\frac{1}{2}× 3× 4=6$。
(3) 联立$\begin{cases}y=x-3\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=-1\\y=-4\end{cases}$，另一个交点为$(-1,-4)$。
由图象可知，一次函数值大于反比例函数值时$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞4$。