22. (10 分)如图,直线$y = x与双曲线y = \frac{k}{x}(x＞0)相交于点A$,且$OA = \sqrt{2}$,将直线向左平移一个单位,与双曲线相交于点$B$,与$x$轴、$y轴分别交于C$,$D$两点。
(1)求直线$BC的表达式及k$的值；
(2)连接$OB$,$AB$,求$\triangle OAB$的面积。

(1) $ y=x+1 $，$ k=1 $；(2) $ \frac{1}{2} $。

(1) 设点$ A $的坐标为$(a,a)$，因为点$ A $在直线$ y=x $上。
$ OA = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a $，由$ OA = \sqrt{2} $得$ \sqrt{2}a = \sqrt{2} $，解得$ a=1 $，故$ A(1,1) $。
将$ A(1,1) $代入双曲线$ y = \frac{k}{x} $，得$ 1 = \frac{k}{1} $，所以$ k=1 $。
原直线$ y=x $向左平移1个单位，根据“左加右减”原则，平移后直线表达式为$ y = (x+1) $，即$ y=x+1 $，此为直线$ BC $的表达式。
(2) 联立$ \begin{cases} y = x+1 \\ y = \frac{1}{x} \end{cases} $，得$ x+1 = \frac{1}{x} $，整理得$ x^2 + x - 1 = 0 $。
解得$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $，因为$ x＞0 $，取$ x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $，则$ y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $，故$ B\left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) $。
$ \triangle OAB $面积：由坐标公式$ S = \frac{1}{2} |x_O(y_A - y_B) + x_A(y_B - y_O) + x_B(y_O - y_A)| $，代入$ O(0,0) $，$ A(1,1) $，$ B\left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) $，化简得$ S = \frac{1}{2} |y_B - x_B| $。
因为$ y_B - x_B = 1 $（$ B $在$ y=x+1 $上），所以$ S = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2} $。
(1) 直线$ BC $表达式为$ y=x+1 $，$ k=1 $；(2) $ \triangle OAB $面积为$ \frac{1}{2} $。