7. (1) 如图 1,在△ABC 中,AB = AC = 10,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,过点 D 作 EF//BC,分别交 AB,AC 于 E,F 两点,则图中共有个等腰三角形；EF,BE,CF 三者之间的数量关系是,△AEF 的周长是.


(2) 如图 2,若将(1)中“在△ABC 中,AB = AC = 10”改为“若△ABC 为不等边三角形,AB = 8,AC = 10”其余条件不变,则图中共有个等腰三角形；EF,BE,CF 三者之间的数量关系是什么？证明你的结论,并求出△AEF 的周长.
关系：EF=BE+CF
证明：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∵EF//BC，∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED（等角对等边），
同理，CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD，
∵EF//BC，∴∠FDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACD=∠FDC，∴FC=FD（等角对等边），
∵EF=ED+DF，∴EF=BE+CF；
△AEF周长=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=(AE+BE)+(AF+CF)=AB+AC=8+10=18.

(1) 5；EF=BE+CF；20
(2) 2；
关系：EF=BE+CF
证明：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∵EF//BC，∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED（等角对等边），
同理，CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD，
∵EF//BC，∴∠FDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACD=∠FDC，∴FC=FD（等角对等边），
∵EF=ED+DF，∴EF=BE+CF；
△AEF周长=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=(AE+BE)+(AF+CF)=AB+AC=8+10=18.

【典型例题 1】如图,等边三角形 $ABC$ 的边长为 $8$,点 $E$ 是 $BC$ 边上一动点(不与点 $B$,$C$ 重合),以 $BE$ 为边在 $BC$ 的下方作等边三角形 $BDE$,连接 $AE$,$CD$。

(1) 在点 $E$ 的运动的过程中,$AE$ 与 $CD$ 有何数量关系？请说明理由。
(2) 当 $BE = 4$ 时,求 $\angle BDC$ 的度数。

【解】(1)$AE = CD$。理由如下：
因为 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BDE$ 是等边三角形,
所以 $AB = BC$,$BE = BD$,$\angle ABC = \angle EBD = 60^{\circ}$。
在 $\triangle ABE$ 与 $\triangle CBD$ 中,
$\begin{cases}AB = CB, \\\angle ABE = \angle CBD, \\BE = BD,\end{cases} $
所以 $\triangle ABE\cong\triangle CBD(SAS)$,
所以 $AE = CD$。
(2) 因为 $BE = 4$,$BC = 8$,所以 $E$ 为 $BC$ 的中点。因为等边三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,
所以 $AE\perp BC$,
所以 $\angle AEB = 90^{\circ}$。
由 (1) 知 $\triangle ABE\cong\triangle CBD$,
所以 $\angle BDC = \angle AEB = 90^{\circ}$。