1. 用 22 根 1 分米长的小棒摆长方形,一共有多少种不同的摆法？请填写下表。
|长/分米|6|||||
|宽/分米|5|||||
|面积/平方分米||||||

按哪种摆法摆出的长方形面积最大？

设长方形的长为$l$分米，宽为$w$分米，由于小棒总长为22分米，且长方形周长公式为$2(l + w)$，所以有：
$2(l + w) = 22$
$l + w = 11$
由于长和宽都是整数，且长大于宽，我们可以列举出所有可能的组合：
| 长/分米 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
|---------|----|---|---|---|---|
| 宽/分米 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 面积/平方分米 | 10 | 18| 24| 28| 30 |
所以，一共有5种不同的摆法。
按长6分米，宽5分米摆出的长方形面积最大，为30平方分米。

2. 小芳选中了 3 种图书,最少买 1 本,最多买 3 本,她有()种不同的购买方法。在下表中画“√”表示购买方法。(每种书不重复买)
|购买方法|只买 1 本|只买 2 本|买 3 本|
|《作文大全》| | | |
|《故事会》| | | |
|《数学习题集》| | | |

1. 首先计算只买1本的方法数：
选《作文大全》、《故事会》、《数学习题集》，共3种方法。在只买1本对应的书中依次画√，即《作文大全》只买1本列画√，《故事会》只买1本列画√，《数学习题集》只买1本列画√。
2. 然后计算只买2本的方法数：
《作文大全》和《故事会》；《作文大全》和《数学习题集》；《故事会》和《数学习题集》，共3种方法。在对应的两种书只买2本列画√。
3. 最后计算买3本的方法数：
《作文大全》、《故事会》、《数学习题集》都买，共1种方法。在三种书买3本列画√。
总的购买方法数为：$3 + 3+1=7$（种）。
|购买方法|只买 1 本|只买 2 本|买 3 本|
|----|----|----|----|
|《作文大全》|√|√|√|
|《故事会》|√|√|√|
|《数学习题集》|√|√|√|
她有7种不同的购买方法。
故答案为：7。

3. 有 2 本同样的故事书和 3 本同样的童话书,从中任意选两本,一共有多少种不同的选法？

情况1：选2本故事书，1种。
情况2：选2本童话书，1种。
情况3：选1本故事书和1本童话书，1种。
1+1+1=3（种）
答：一共有3种不同的选法。

1. 选两本故事书；
2. 选两本童话书；
3. 选一本故事书和一本童话书。
一共有3种不同的选法。

4. 一列动车在上海与南京之间往返行驶,中间停靠苏州、无锡和常州,则这列动车应准备()种不同的车票。

$20$（题目中是填空题，按照题目要求选择题形式答案应写为对应20的选项，假设选项顺序不变的情况下）B

题目中提到的站点顺序为上海、苏州、无锡、常州、南京，共5个站点。
任意两个站点之间都需要一种车票。
从5个站点中任选2个站点的组合数为：
$C(5,2)=\frac{5×4}{2×1}=10$。
由于车票有方向性（例如，上海到南京和南京到上海是不同的车票），
所以实际的车票种类数为组合数的2倍，即：
$10×2=20$。

5. 有 5、7、9 三张数字卡片,每次任意选其中的一张、两张或者三张,一共能组成多少个不同的自然数？(把这些自然数都写出来)

选一张卡片：5、7、9，共 3 个；
选两张卡片：
57、59、75、79、95、97，共 6 个；
选三张卡片：
579、597、759、795、957、975，共 6 个。
总计：$3 + 6 + 6 = 15$（个）。
所有自然数为：
5，7，9，57，59，75，79，95，97，579，597，759，795，957，975。

6. 下面的两条平行线上分别有四个点和三个点,以这些点为顶点,一共可以画出多少个不同的三角形？

答：上边一条线上有4个点（A、B、C、D），下边一条线上有3个点（E、F、G）。
要构成一个三角形，需要从上边线上选一个点，下边线上选两个点，或者从上边线上选两个点，下边线上选一个点。
第一种情况：上边线选一个点，下边线选两个点。
上边线选一个点有4种选择，下边线选两个点有$\binom{3}{2} = 3$种选择。
因此，这种情况可以构成$4 × 3 = 12$个三角形。
第二种情况：上边线选两个点，下边线选一个点。
上边线选两个点有$\binom{4}{2} = 6$种选择，下边线选一个点有3种选择。
因此，这种情况可以构成$6 × 3 = 18$个三角形。
综合两种情况，一共可以画出$12 + 18 = 30$个不同的三角形。