登录
4. 计算：
(1)$\frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x - 2}$；(2)$\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y}$；
(3)$\frac{a}{a^{2} + 4a + 4} - \frac{3}{2a + 4}$；
(4)$x + 3 - \frac{10}{3 - x}$.
(1)$\frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x - 2}$；(2)$\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y}$；
(3)$\frac{a}{a^{2} + 4a + 4} - \frac{3}{2a + 4}$；
(4)$x + 3 - \frac{10}{3 - x}$.
答案
(1)
$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x - 2} &= \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ &= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} \\ &= x + 2 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y} &= \frac{x - y - (x + y)}{(x + y)(x - y)} \\ &= \frac{x - y - x - y}{x^{2} - y^{2}} \\ &= - \frac{2y}{x^{2} - y^{2}} \end{aligned}$
(3)
首先对分母进行因式分解：
$a^{2} + 4a + 4 = (a + 2)^{2}$
$2a + 4 = 2(a + 2)$
$\begin{aligned} \frac{a}{a^{2} + 4a + 4} - \frac{3}{2a + 4} &= \frac{a}{(a + 2)^{2}} - \frac{3}{2(a + 2)} \\ &= \frac{2a - 3(a + 2)}{2(a + 2)^{2}} \\ &= \frac{2a - 3a - 6}{2(a + 2)^{2}} \\ &= - \frac{a + 6}{2(a + 2)^{2}} \end{aligned}$
(4)
为了进行加减，将$x + 3$转化为分数形式：
$x + 3 = \frac{(x + 3)(3 - x)}{3 - x} = \frac{9 - x^{2}}{3 - x}$
$\begin{aligned} x + 3 - \frac{10}{3 - x} &= \frac{9 - x^{2} - 10}{3 - x} \\ &= \frac{- x^{2} - 1}{3 - x} \\ &= \frac{x^{2} + 1}{x - 3} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x - 2} &= \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ &= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} \\ &= x + 2 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y} &= \frac{x - y - (x + y)}{(x + y)(x - y)} \\ &= \frac{x - y - x - y}{x^{2} - y^{2}} \\ &= - \frac{2y}{x^{2} - y^{2}} \end{aligned}$
(3)
首先对分母进行因式分解：
$a^{2} + 4a + 4 = (a + 2)^{2}$
$2a + 4 = 2(a + 2)$
$\begin{aligned} \frac{a}{a^{2} + 4a + 4} - \frac{3}{2a + 4} &= \frac{a}{(a + 2)^{2}} - \frac{3}{2(a + 2)} \\ &= \frac{2a - 3(a + 2)}{2(a + 2)^{2}} \\ &= \frac{2a - 3a - 6}{2(a + 2)^{2}} \\ &= - \frac{a + 6}{2(a + 2)^{2}} \end{aligned}$
(4)
为了进行加减，将$x + 3$转化为分数形式：
$x + 3 = \frac{(x + 3)(3 - x)}{3 - x} = \frac{9 - x^{2}}{3 - x}$
$\begin{aligned} x + 3 - \frac{10}{3 - x} &= \frac{9 - x^{2} - 10}{3 - x} \\ &= \frac{- x^{2} - 1}{3 - x} \\ &= \frac{x^{2} + 1}{x - 3} \end{aligned}$
5. 化简式子$(\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4} + 1) ÷ \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}$,并在$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2中选取一个合适的数作为x$的值代入求值.
答案
1
解析
化简过程：
1. 处理括号内分式：
$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4x + 4} = \frac{x(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x}{x - 2}$（分子分母因式分解并约分）。
2. 括号内加法：
$\frac{x}{x - 2} + 1 = \frac{x}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x + (x - 2)}{x - 2} = \frac{2x - 2}{x - 2} = \frac{2(x - 1)}{x - 2}$（通分后合并分子）。
3. 除法变乘法（除以分式等于乘其倒数）：
$\frac{2(x - 1)}{x - 2} ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} = \frac{2(x - 1)}{x - 2} × \frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$（因式分解：$x^2 - 1=(x - 1)(x + 1)$，$x^2 + x=x(x + 1)$）。
4. 约分：
分子分母约去$(x - 1)$和$(x + 1)$，得$\frac{2x}{x - 2}$。
选取x的值：
需使原分式有意义，分母及除数不为0：
$x^2 - 4x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$；
$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$；
$x^2 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$且$x \neq -1$。
综上，x只能取$-2$。
代入求值：
当$x = -2$时，$\frac{2x}{x - 2} = \frac{2(-2)}{-2 - 2} = \frac{-4}{-4} = 1$。
1. 处理括号内分式：
$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4x + 4} = \frac{x(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x}{x - 2}$（分子分母因式分解并约分）。
2. 括号内加法：
$\frac{x}{x - 2} + 1 = \frac{x}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x + (x - 2)}{x - 2} = \frac{2x - 2}{x - 2} = \frac{2(x - 1)}{x - 2}$（通分后合并分子）。
3. 除法变乘法（除以分式等于乘其倒数）：
$\frac{2(x - 1)}{x - 2} ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} = \frac{2(x - 1)}{x - 2} × \frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$（因式分解：$x^2 - 1=(x - 1)(x + 1)$，$x^2 + x=x(x + 1)$）。
4. 约分：
分子分母约去$(x - 1)$和$(x + 1)$，得$\frac{2x}{x - 2}$。
选取x的值：
需使原分式有意义，分母及除数不为0：
$x^2 - 4x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$；
$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$；
$x^2 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$且$x \neq -1$。
综上，x只能取$-2$。
代入求值：
当$x = -2$时，$\frac{2x}{x - 2} = \frac{2(-2)}{-2 - 2} = \frac{-4}{-4} = 1$。
6. 已知$x$为整数,且$\frac{2}{x + 3} + \frac{2}{3 - x} + \frac{2x + 18}{x^{2} - 9}$为整数,则所有符合条件的$x$的值的和为
12
.答案
12
解析
先对原式进行化简，分母因式分解得$x^2 - 9=(x+3)(x-3)$，$3 - x=-(x - 3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$。
原式$=\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}$
通分后分子相加：$2(x-3)-2(x+3)+(2x+18)=2x-6-2x-6+2x+18=2x+6=2(x+3)$
化简得：$\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}$（$x\neq\pm3$）
因为$\frac{2}{x-3}$为整数，$x$为整数，所以$x-3$是2的因数，即$x-3=\pm1,\pm2$
解得$x=4,2,5,1$（均不等于$\pm3$）
符合条件的$x$值为1,2,4,5，和为$1+2+4+5=12$
原式$=\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}$
通分后分子相加：$2(x-3)-2(x+3)+(2x+18)=2x-6-2x-6+2x+18=2x+6=2(x+3)$
化简得：$\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}$（$x\neq\pm3$）
因为$\frac{2}{x-3}$为整数，$x$为整数，所以$x-3$是2的因数，即$x-3=\pm1,\pm2$
解得$x=4,2,5,1$（均不等于$\pm3$）
符合条件的$x$值为1,2,4,5，和为$1+2+4+5=12$
7. 观察下列各式：$\frac{1}{1 × 3} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3})$,$\frac{1}{3 × 5} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$,$\frac{1}{5 × 7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$,…根据观察计算：$\frac{1}{1 × 3} + \frac{1}{3 × 5} + \frac{1}{5 × 7} + … + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = $
$\frac{n}{2n + 1}$
( $n$为正整数).答案
$\frac{n}{2n + 1}$
解析
根据题意，原式可转化为：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \ldots + \frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})\\=&\frac{1}{2}\left[1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right]\\=&\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right)\\=&\frac{1}{2} × \frac{2n}{2n + 1}\\=&\frac{n}{2n + 1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \ldots + \frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})\\=&\frac{1}{2}\left[1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right]\\=&\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right)\\=&\frac{1}{2} × \frac{2n}{2n + 1}\\=&\frac{n}{2n + 1}\end{aligned}$
分式的混合运算顺序是 。
思考 多项式除以单项式与单项式除以多项式分别怎么运算？
判断正误
(1)$(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}) ÷ a = \frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}$(
(2)$a ÷ (\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}) = a ÷ \frac{a}{a - 1} - a ÷ \frac{a}{a + 1} = -2$(
思考 多项式除以单项式与单项式除以多项式分别怎么运算？
判断正误
(1)$(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}) ÷ a = \frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}$(
√
)；(2)$a ÷ (\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}) = a ÷ \frac{a}{a - 1} - a ÷ \frac{a}{a + 1} = -2$(
×
)。答案
(1)√；(2)×
解析
分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内的。
多项式除以单项式：根据乘法分配律，将其转化为单项式除以单项式的形式进行运算，即$(a+b)÷ c = a÷ c + b÷ c$。
单项式除以多项式：将其转化为分数形式，即$a÷(b + c)=\frac{a}{b + c}$。
(1)
先对$(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})$进行通分，$\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}=\frac{a(a + 1)-a(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)}=\frac{a^{2}+a - a^{2}+a}{a^{2}-1}=\frac{2a}{a^{2}-1}$。
则$(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})÷ a=\frac{2a}{a^{2}-1}×\frac{1}{a}=\frac{2}{a^{2}-1}$。
而$\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}=\frac{a + 1-(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)}=\frac{2}{a^{2}-1}$，所以该等式正确。
(2)
由前面计算知$\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}=\frac{2a}{a^{2}-1}$，则$a÷(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})=a÷\frac{2a}{a^{2}-1}=a×\frac{a^{2}-1}{2a}=\frac{a^{2}-1}{2}$。
$a÷\frac{a}{a - 1}-a÷\frac{a}{a + 1}=a×\frac{a - 1}{a}-a×\frac{a + 1}{a}=a - 1-(a + 1)=-2$，但$a÷(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})\neq a÷\frac{a}{a - 1}-a÷\frac{a}{a + 1}$，所以该等式错误。
多项式除以单项式：根据乘法分配律，将其转化为单项式除以单项式的形式进行运算，即$(a+b)÷ c = a÷ c + b÷ c$。
单项式除以多项式：将其转化为分数形式，即$a÷(b + c)=\frac{a}{b + c}$。
(1)
先对$(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})$进行通分，$\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}=\frac{a(a + 1)-a(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)}=\frac{a^{2}+a - a^{2}+a}{a^{2}-1}=\frac{2a}{a^{2}-1}$。
则$(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})÷ a=\frac{2a}{a^{2}-1}×\frac{1}{a}=\frac{2}{a^{2}-1}$。
而$\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}=\frac{a + 1-(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)}=\frac{2}{a^{2}-1}$，所以该等式正确。
(2)
由前面计算知$\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}=\frac{2a}{a^{2}-1}$，则$a÷(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})=a÷\frac{2a}{a^{2}-1}=a×\frac{a^{2}-1}{2a}=\frac{a^{2}-1}{2}$。
$a÷\frac{a}{a - 1}-a÷\frac{a}{a + 1}=a×\frac{a - 1}{a}-a×\frac{a + 1}{a}=a - 1-(a + 1)=-2$，但$a÷(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1})\neq a÷\frac{a}{a - 1}-a÷\frac{a}{a + 1}$，所以该等式错误。
例1 计算：
(1)$(\frac{y}{3x})^2 \cdot \frac{6x}{y} - \frac{3y^3}{x^2} ÷ \frac{2y^2}{3x}$；
(2)$\frac{x}{x^2 + x} ÷ \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 1} + \frac{x - 1}{x + 2}$；
(3)$\frac{m^2 - 9}{m} ÷ (m + 1 - \frac{7m - 9}{m})$；
(4)$(\frac{5b^2}{a - 2b} - a - 2b) \cdot \frac{2a - 4b}{3b - a}$。
名师导引 运算顺序为：先乘方,后乘除,再加减,如有括号,先算括号内的。
(1)$(\frac{y}{3x})^2 \cdot \frac{6x}{y} - \frac{3y^3}{x^2} ÷ \frac{2y^2}{3x}$；
(2)$\frac{x}{x^2 + x} ÷ \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 1} + \frac{x - 1}{x + 2}$；
(3)$\frac{m^2 - 9}{m} ÷ (m + 1 - \frac{7m - 9}{m})$；
(4)$(\frac{5b^2}{a - 2b} - a - 2b) \cdot \frac{2a - 4b}{3b - a}$。
名师导引 运算顺序为：先乘方,后乘除,再加减,如有括号,先算括号内的。
答案
(1)$-\frac{23y}{6x}$；(2)$\frac{x^2 - 1}{x(x+2)}$；(3)$\frac{m+3}{m-3}$；(4)$2a + 6b$
解析
(1) 原式$=\frac{y^2}{9x^2} \cdot \frac{6x}{y} - \frac{3y^3}{x^2} \cdot \frac{3x}{2y^2}$
$=\frac{2y}{3x} - \frac{9y}{2x}$
$=\frac{4y - 27y}{6x}$
$=-\frac{23y}{6x}$
(2) 原式$=\frac{x}{x(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)} + \frac{x-1}{x+2}$
$=\frac{x-1}{x(x+2)} + \frac{x(x-1)}{x(x+2)}$
$=\frac{(x-1)(1+x)}{x(x+2)}$
$=\frac{x^2 - 1}{x(x+2)}$
(3) 原式$=\frac{(m-3)(m+3)}{m} ÷ \frac{m^2 + m - 7m + 9}{m}$
$=\frac{(m-3)(m+3)}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2}$
$=\frac{m+3}{m-3}$
(4) 原式$=\frac{5b^2 - (a+2b)(a-2b)}{a-2b} \cdot \frac{2(a-2b)}{-(a-3b)}$
$=\frac{9b^2 - a^2}{a-2b} \cdot \frac{2(a-2b)}{-(a-3b)}$
$=\frac{(3b-a)(3b+a)}{a-2b} \cdot \frac{2(a-2b)}{-(a-3b)}$
$=2(a + 3b)$
$=2a + 6b$
$=\frac{2y}{3x} - \frac{9y}{2x}$
$=\frac{4y - 27y}{6x}$
$=-\frac{23y}{6x}$
(2) 原式$=\frac{x}{x(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)} + \frac{x-1}{x+2}$
$=\frac{x-1}{x(x+2)} + \frac{x(x-1)}{x(x+2)}$
$=\frac{(x-1)(1+x)}{x(x+2)}$
$=\frac{x^2 - 1}{x(x+2)}$
(3) 原式$=\frac{(m-3)(m+3)}{m} ÷ \frac{m^2 + m - 7m + 9}{m}$
$=\frac{(m-3)(m+3)}{m} \cdot \frac{m}{(m-3)^2}$
$=\frac{m+3}{m-3}$
(4) 原式$=\frac{5b^2 - (a+2b)(a-2b)}{a-2b} \cdot \frac{2(a-2b)}{-(a-3b)}$
$=\frac{9b^2 - a^2}{a-2b} \cdot \frac{2(a-2b)}{-(a-3b)}$
$=\frac{(3b-a)(3b+a)}{a-2b} \cdot \frac{2(a-2b)}{-(a-3b)}$
$=2(a + 3b)$
$=2a + 6b$
