变式训练$ (1) $若$ \left( \frac{2}{3} \right)^{-x} = \frac{27}{8} ,$则$ x $的值为；　　
$(2) $若$ 2^{2x - 3} = 1 ,$则$ x $的值为.

(1) 3 ；
(2) $\frac{3}{2}$（或 1.5）。

(1) 根据负指数幂的定义，有：
$\left( \frac{2}{3} \right)^{-x} = \left( \frac{3}{2} \right)^{x}$，
因为 $\left( \frac{3}{2} \right)^{3} = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$，
对比得 $\left( \frac{3}{2} \right)^{x} = \frac{27}{8}$，
所以 $x = 3$。
(2) 根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都等于1，即：
$2^{2x - 3} = 2^{0}$，
对比指数得：
$2x - 3 = 0$，
解得：
$x = \frac{3}{2}$。

1. $\left( \frac{1}{5} \right)^{-2}$ 的相反数是()
A.-25
B.25

C.-\frac{1}{25} $$
$D.\frac{1}{25} $

A

根据负整数指数幂的定义，$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$（其中$a \neq 0$，$n$为正整数），
所以，$\left( \frac{1}{5} \right)^{-2} = \left(5^{-1}\right)^{-2} = 5^{2} = 25$，
根据相反数的定义，一个数的相反数是与该数和为零的数，
所以，$25$的相反数是$-25$，
综上所述，$\left( \frac{1}{5} \right)^{-2}$的相反数是$-25$。

2. 如果 $ x = (-99)^{0} $,$ y = (-0.1)^{-1} $,$ z = \left( -\frac{5}{3} \right)^{-2} $,那么 $ x $,$ y $,$ z $ 三个数的大小关系是()
A.$ x ＞ y ＞ z $
B.$ x ＞ z ＞ y $
C.$ z ＞ x ＞ y $
D.$ z ＞ y ＞ x $

B

首先计算 $x$，$y$，$z$的值。
$x = (-99)^{0} = 1$，因为任何非零数的0次幂都等于1。
$y = (-0.1)^{-1} = \frac{1}{-0.1} = -10$，因为负指数表示取倒数，即$\frac{1}{a}$，同时保留负号。
$z = \left( -\frac{5}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{-5} \right)^{2} = \frac{9}{25}=0.36$，因为负指数表示取倒数后再平方，且平方后负号消失。
比较 $x$，$y$，$z$ 的大小：
$1＞ 0.36 ＞ -10$，即 $x ＞ z ＞ y$。

3. 现定义新运算“$ \Delta $”为：如果 $ x \neq 0 $,则有 $ x \Delta y = x^{-2} + xy + |-y| $,那么 $ \left( -\frac{1}{4} \right) \Delta 4 $ 的值为()
A.-17
B.19
C.$ \frac{49}{16} $
D.$ \frac{47}{16} $

B

由新运算定义，$x \Delta y = x^{-2} + xy + |-y|$，其中$x=-\frac{1}{4}$，$y=4$且$x\neq0$。
计算$x^{-2}=\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16$；
$xy=\left(-\frac{1}{4}\right)×4=-1$；
$|-y|=|-4|=4$。
则$\left(-\frac{1}{4}\right)\Delta4=16 + (-1) + 4=19$。

4. (1) 若 $2^{x} = \frac{1}{64}$ ,则  x = .
(2) 若 $ (-2)^{3} ÷ (-2)^{2x} = (-2)^{x}$ ,则  x = .

(1) $-6$；
(2) $1$。

(1) 已知 $2^{x} = \frac{1}{64}$，
将$\frac{1}{64}$ 转换为 $2$ 的幂次形式，即 $\frac{1}{64} = 2^{-6}$，
由于底数相同，比较指数，得 $x = -6$。
(2) 已知$ (-2)^{3} ÷ (-2)^{2x} = (-2)^{x} $，
根据同底数幂的除法法则，化简为$ (-2)^{3 - 2x} = (-2)^{x} $，
由于底数相同，比较指数，得 $3 - 2x = x$，
移项并化简，得 $3 = 3x$，
解得$x = 1$。

$5. $计算：　　
$(1) (-2a^{2}b^{-2})^{-2} ÷ (a^{-4}b^{2}) ；$　　
$(2) \frac{[-2(x - 2y)]^{-3}y^{2}}{(2y - x)^{2}y^{-2}} ；$　　
$(3) \left( -\frac{1}{2} \right)^{-3} + 4 × (-1)^{2025} - |-2^{3}| + (8 - \pi)^{0} ；$　　
$(4) |1 - \sqrt{3}| - \sqrt{3} - (\pi - 1)^{0} + \left( -\frac{1}{2} \right)^{-1} .$　　

(1)$\frac{{b}^{2}}{4}$；
(2)$\frac{{y}^{4}}{8(2y-x{)}^{5}}$；
(3)$-19$；
(4)$-4$

(1) 原式$=(-2{)}^{-2}({a}^{2}{)}^{-2}({b}^{-2}{)}^{-2}÷ ({a}^{-4}{b}^{2})$
$=\frac{1}{4}{a}^{-4}{b}^{4}÷ ({a}^{-4}{b}^{2})$
$=\frac{1}{4}{a}^{-4-(-4)}{b}^{4-2}$
$=\frac{1}{4}{b}^{2}$
$=\frac{{b}^{2}}{4}$
(2) 原式$=\frac{(-2{)}^{-3}(x-2y{)}^{-3}{y}^{2}}{(2y-x{)}^{2}{y}^{-2}}$
$=\frac{-\frac{1}{8}(x-2y{)}^{-3}{y}^{2}}{(x-2y{)}^{2}{y}^{-2}}$
$=-\frac{1}{8}(x-2y{)}^{-5}{y}^{4}$
$=-\frac{{y}^{4}}{8(x-2y{)}^{5}}$
$=\frac{{y}^{4}}{8(2y-x{)}^{5}}$
(3) 原式$=-8+4× (-1)-8+1$
$=-8-4-8+1$
$=-19$
(4) 原式$=(\sqrt{3}-1)-\sqrt{3}-1+(-2)$
$=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1-2$
$=-4$

6. 已知 $ a $,$ b $ 互为相反数,$ c $,$ d $ 互为倒数,$ x^{-2} = 1 $,$ |y| = 2 $,求 $ x^{a + b + 2} + (-cd)^{-3} - y^{2} $ 的值.

根据题意：
$a$ 和 $b$ 互为相反数，所以 $a + b = 0$，
$c$ 和 $d$ 互为倒数，所以 $cd = 1$，
由 $x^{-2} = 1$，可得 $x^{2} = 1$，进而 $x = \pm 1$，
由 $|y| = 2$，可得 $y = \pm 2$，
当 $x = 1$ 时：
$x^{a + b + 2} + (-cd)^{-3} - y^{2} $
$= 1^{0 + 2} + (-1)^{-3} - 4 $
$= 1 - 1 - 4 $
$= -4$
当 $x = -1$ 时：
$x^{a + b + 2} + (-cd)^{-3} - y^{2} $
$= (-1)^{0 + 2} + (-1)^{-3} - 4 $
$= 1 - 1 - 4 $
$= -4$
综上，$x^{a + b + 2} + (-cd)^{-3} - y^{2} = -4$。

7. 若 $ x $,$ y $,$ z $ 为整数,且满足 $ \left( \frac{9}{8} \right)^{x} \cdot \left( \frac{10}{9} \right)^{y} \cdot \left( \frac{16}{15} \right)^{z} = 2 $,求 $ x + y + z $ 的值.

7

将等式左边各分数化为质因数幂的形式：
$\left( \frac{9}{8} \right)^x = \left( \frac{3^2}{2^3} \right)^x = 3^{2x} \cdot 2^{-3x},$
$\left( \frac{10}{9} \right)^y = \left( \frac{2 \cdot 5}{3^2} \right)^y = 2^y \cdot 5^y \cdot 3^{-2y},$
$\left( \frac{16}{15} \right)^z = \left( \frac{2^4}{3 \cdot 5} \right)^z = 2^{4z} \cdot 3^{-z} \cdot 5^{-z}.$
相乘得：
$3^{2x - 2y - z} \cdot 2^{-3x + y + 4z} \cdot 5^{y - z} = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0.$
由指数对应相等，得方程组：
$\begin{cases}2x - 2y - z = 0, \\-3x + y + 4z = 1, \\y - z = 0.\end{cases}$
由第三个方程得 $ y = z $，代入第一个方程：$ 2x - 3y = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}y $。
因 $ x, y $ 为整数，设 $ y = 2k $，则 $ x = 3k $，$ z = 2k $。
代入第二个方程：$ -3(3k) + 2k + 4(2k) = 1 \Rightarrow k = 1 $。
故 $ x = 3 $，$ y = 2 $，$ z = 2 $，则 $ x + y + z = 3 + 2 + 2 = 7 $。

用科学记数法表示绝对值小于1的正数,一般形式为(其中$1 \leq a ＜ 10$,$n$为正整数)。
思考 对于一个小于1的正小数,如果小数点后至第一个非零数字前有6个0,用科学记数法表示这个数时,10的指数是多少？如果有$m$个0呢？
填空 0.000 000 027用科学记数法表示为$2.7 ×$。

【解析】：用科学记数法表示绝对值小于1的正数，一般形式为$a×10^{-n}$（其中$1 \leq a ＜ 10$，$n$为正整数）。对于小于1的正小数，小数点后至第一个非零数字前有6个0时，$10$的指数是$-7$；有$m$个0时，指数是$-(m + 1)$。0.000000027中小数点后至第一个非零数字前有8个0，所以指数为$-9$，即$2.7×10^{-9}$。
【答案】：$a×10^{-n}$；$-7$；$-(m + 1)$；$10^{-9}$