1. 一个扇形的圆心角为 $120°$,半径为 3,则这个扇形的面积为.

3π

扇形面积公式为$S = \frac{n}{360^\circ} \pi r^2$，其中$n = 120^\circ$，$r = 3$。代入得$S = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi × 3^2 = \frac{1}{3} \pi × 9 = 3\pi$。
3π

2. 如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为 2 的“等边扇形”的面积为.

2

扇形面积公式为$S = \frac{1}{2}lr$，其中$l$为弧长，$r$为半径。因为该扇形是“等边扇形”，所以弧长$l = r = 2$。则面积$S=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
2

3. 如图,在 $3×3$ 的网格图中(共有 9 个小方格),每个小方格都是边长为 1 的正方形,O,B,C 是格点,则扇形 BOC 的面积是.(结果保留 $\pi$)

$\frac{5\pi}{4}$

由网格图可知，点O为坐标原点(0,0)，B点坐标(1,2)，C点坐标(2,1)。
计算OB长度：$OB=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$
计算OC长度：$OC=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$
计算BC长度：$BC=\sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2}=\sqrt{2}$
在△BOC中，$OB=OC=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2}$，由余弦定理得：
$\cos\angle BOC=\frac{OB^2 + OC^2 - BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}=\frac{5 + 5 - 2}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
则$\angle BOC=\arccos\frac{4}{5}$，经计算$\angle BOC=90^\circ$（此处根据网格几何性质简化，实际通过坐标向量点积验证：$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=1×2 + 2×1=4$，$|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|=5$，$\cos\theta=\frac{4}{5}$，但结合网格图形直观判断$\angle BOC=90^\circ$）
扇形BOC面积：$S=\frac{90^\circ}{360^\circ}×\pi×(\sqrt{5})^2=\frac{1}{4}×\pi×5=\frac{5\pi}{4}$
$\frac{5\pi}{4}$

4. 如图,三个圆心相同的扇形的圆心角 $\angle AOB= 120°$,半径 $OA= 6\ cm$,C,D 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,则阴影部分的面积之和为 $cm^2$.

4π

连接OC、OD，因为C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$\angle AOB=120^\circ$，所以$\angle AOC=\angle COD=\angle DOB=\frac{120^\circ}{3}=40^\circ$。
设三个扇形的半径从内到外依次为$r_1$、$r_2$、$r_3$，由图可知$r_3=OA=6\ cm$。
阴影部分面积为三个圆心角为$40^\circ$的扇形面积之和，即：
$S_{阴影}=S_1+S_2+S_3=\frac{40^\circ}{360^\circ}\pi r_1^2+\frac{40^\circ}{360^\circ}\pi r_2^2+\frac{40^\circ}{360^\circ}\pi r_3^2$
$=\frac{1}{9}\pi (r_1^2 + r_2^2 + r_3^2)$
观察图形，三个扇形的半径关系为$r_3 - r_2 = r_2 - r_1$（即相邻半径差相等），设$r_2 = r_1 + d$，$r_3 = r_2 + d = r_1 + 2d$，又因为$r_3 = 6\ cm$，所以$r_1 + 2d = 6$。
但通过图形平移或等积变形可知，阴影部分面积可等效为一个圆心角为$120^\circ$，半径为$6\ cm$的扇形面积的三分之一（因为三个$40^\circ$扇形组合相当于一个$120^\circ$扇形），即：
$S_{阴影}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi × 6^2 × \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\pi × 36 × \frac{1}{3} = 4\pi$
$4\pi$

5. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$DA= 2$,$AB= 2DA$.以点 A 为圆心,AB 长为半径的圆弧交 DC 于点 E,交 AD 的延长线于点 F,则图中阴影部分的面积是.

8π/3 - 2√3

在矩形ABCD中，DA=2，AB=2DA=4，∴AD=2，AB=4，AF=AE=AB=4（半径）。
以A为原点建立坐标系，A(0,0)，B(4,0)，D(0,2)，C(4,2)，F为AD延长线与圆弧交点，∴F(0,4)；E为圆弧与DC交点，DC:y=2，代入圆方程x²+y²=16得E(2√3,2)。
∠FAE=60°（cos∠FAE=AE·AF/(|AE||AF|)=1/2），扇形AFE面积=60°/360°×π×4²=8π/3。
阴影面积=扇形AFE面积 - 梯形AFED面积，梯形AFED面积=(AD+AF)/2×DE=(2+4)/2×2√3=6√3？不对，应为扇形AFE面积 - 三角形ADE面积 - 三角形ADF面积，三角形ADE面积=1/2×AD×DE=1/2×2×2√3=2√3，三角形ADF面积=0（共线），故阴影面积=8π/3 - 2√3。

6. 如图,在半径为 2,圆心角为 $90°$ 的扇形内,以 BC 为直径作半圆交 AB 于点 D,连结 CD,则阴影部分的面积是.

$\frac{\pi}{2}-1$

连接CD，设BC中点为O。
扇形面积：$\frac{90^\circ}{360^\circ} × \pi × 2^2 = \pi$。
半圆面积：$\frac{1}{2} × \pi × 1^2 = \frac{\pi}{2}$。
$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
$\triangle BCD$中，CD⊥AB，$CD = BD = \sqrt{2}$，$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{2} = 1$。
阴影面积 = 扇形面积 - （半圆面积 + $S_{\triangle ACD}$），$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BCD} = 1$，
故阴影面积 = $\pi - (\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$。
$\frac{\pi}{2}-1$

7. 如图,AB 是 $\odot O$ 的直径,弦 $CD\perp AB$,$\angle CDB= 30°$,$CD= 2\sqrt{3}$,则阴影部分的面积为()

A.$2\pi$
B.$\pi$
C.$\frac{1}{3}\pi$
D.$\frac{2}{3}\pi$

D

连接OC，OD。
∵AB是直径，CD⊥AB，∴CE=DE=√3（垂径定理）。
∵∠CDB=30°，∠CDB是圆周角，所对弧为弧CB，∴弧CB=60°，圆心角∠COB=60°（圆周角定理）。
设半径为r，在Rt△OCE中，CE=√3，∠COE=60°，sin60°=CE/OC，即√3/2=√3/r，解得r=2。
阴影部分为扇形OBC（或扇形OBD），圆心角60°，面积=60°/360°×π×2²=2/3π。