1. 根据下面前三个算式的规律,填一填。
$1 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}$ $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3^{2}$ $1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4^{2}$
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = $()$ = $()$^{2}$
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = $()$ = $()$^{2}$

25，5；81，9

观察前三个算式，每个算式都是从1开始连续加到某个数，再倒着加回到1，结果等于中间那个最大数的平方。第一个算式中间数是2，结果是2²=4；第二个中间数是3，结果是3²=9；第三个中间数是4，结果是4²=16。
第四个算式中间数是5，所以结果是5²=25；第五个算式中间数是9，所以结果是9²=81。

2. 下面各图形中有几个点？按规律画出下一个图形。

$1 + 2 = 3$ $1 + 2 + 4 = ()$ $1 + 2 + 4 + 6 = ()$ ()

7；13；1+2+4+6+8=21；（画出外层比第三个图形多一圈，每条边有5个点的正方形框架，内部结构与前一个类似）

观察图形，第一个图形点数：1+2=3；第二个图形点数：1+2+4=7；第三个图形点数：1+2+4+6=13；规律为每次增加的数依次是2,4,6，下一个增加8，下一个算式为1+2+4+6+8=21。下一个图形在第三个图形基础上，外层每条边增加2个点（共4条边，顶点重复，实际增加8个点）。

3. 某餐厅摆放桌椅如下。

1 张餐桌可坐 8 人,2 张餐桌可坐 14 人,5 张餐桌可坐()人。按此规律,$n(n \geq 2)$张餐桌可坐()人。

32；6n+2

1张餐桌坐8人，2张坐14人，多1张餐桌多坐6人。5张餐桌：8+(5-1)×6=32人。n张餐桌(n≥2)：8+(n-1)×6=6n+2人。

1 条直线可以把一个平面分成 2 个区域(如下图①),2 条直线最多可以把一个平面分成 4 个区域(如下图②)。5 条直线最多可以把一个平面分成几个区域？10 条呢？

设$n$条直线最多可将平面分成$f(n)$个区域，
已知$f(1)=2$，$f(2)=4$，
当$n = 3$时，第三条直线与前两条直线都相交，有$2$个交点，这$2$个交点将第三条直线分成$3$段，每一段都把所在的区域一分为二，所以新增$3$个区域，$f(3)=f(2)+3 = 4 + 3=7$；
当$n = 4$时，第四条直线与前三条直线都相交，有$3$个交点，这$3$个交点把第四条直线分成$4$段，每一段都把所在的区域一分为二，所以新增$4$个区域，$f(4)=f(3)+4 = 7+4 = 11$；
以此类推，$n$条直线时，第$n$条直线与前面$n - 1$条直线都相交，有$n - 1$个交点，这$n - 1$个交点把第$n$条直线分成$n$段，每一段都把所在的区域一分为二，所以新增$n$个区域，得到递推公式$f(n)=f(n - 1)+n$。
由递推公式$f(n)-f(n - 1)=n$，
$f(1)=2$
$f(2)-f(1)=2$
$f(3)-f(2)=3$
$\cdots$
$f(n)-f(n - 1)=n$
将以上$n - 1$个式子相加得：
$f(n)-f(1)=2 + 3+\cdots + n$
$f(n)=1+\frac{n(n + 1)}{2}+1= \frac{n(n + 1)}{2}+1$
当$n = 5$时，$f(5)=\frac{5×(5 + 1)}{2}+1=\frac{5×6}{2}+1=15 + 1=16$；
当$n = 10$时，$f(10)=\frac{10×(10 + 1)}{2}+1=\frac{10×11}{2}+1=55 + 1=56$。
答：5条直线最多可以把一个平面分成16个区域，10条直线最多可以把一个平面分成56个区域。