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6. (2024 麒麟区一模) 某电商平台以每件 20 元的价格购进一批商品,销售该商品的单价不低于进价且不超过 28 元/件。经调查发现,该商品每天的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元/件)之间满足如图所示的一次函数关系。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2) 当销售单价为多少元/件时,销售利润最大？最大利润是多少元？
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(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2) 当销售单价为多少元/件时,销售利润最大？最大利润是多少元？
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答案
(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b$，由图可知，当$x=22$时，$y=200$；当$x=27$时，$y=150$，代入可得：
$\begin{cases}22k+b=200\\27k+b=150\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=420\end{cases}$，所以$y=-10x+420$。
(2)设销售利润为$w$元，根据题意得：
$w=(x-20)y=(x-20)(-10x+420)=-10x^2+620x-8400$
$w=-10(x-31)^2+1210$
因为$-10\lt0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=31$，又因为$20\leq x\leq28$，在对称轴左侧，$w$随$x$的增大而增大，所以当$x=28$时，$w$有最大值，$w=-10×(28-31)^2+1210=1120$。
(1)$y=-10x+420$；(2)当销售单价为28元/件时，销售利润最大，最大利润是1120元。
$\begin{cases}22k+b=200\\27k+b=150\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=420\end{cases}$，所以$y=-10x+420$。
(2)设销售利润为$w$元，根据题意得：
$w=(x-20)y=(x-20)(-10x+420)=-10x^2+620x-8400$
$w=-10(x-31)^2+1210$
因为$-10\lt0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=31$，又因为$20\leq x\leq28$，在对称轴左侧，$w$随$x$的增大而增大，所以当$x=28$时，$w$有最大值，$w=-10×(28-31)^2+1210=1120$。
(1)$y=-10x+420$；(2)当销售单价为28元/件时，销售利润最大，最大利润是1120元。
7. (2023 江苏宿迁) 某商场销售 $ A $,$ B $ 两种商品,每件商品进价均为 20 元。经统计,如果售出 $ A $ 种商品 20 件,$ B $ 种商品 10 件,则总销售收入为 840 元；如果售出 $ A $ 种商品 10 件,$ B $ 种商品 15 件,则总销售收入为 660 元。
(1) 求 $ A $,$ B $ 两种商品的销售单价。
(2) 经市场调研发现,$ A $ 种商品按原售价销售,可售出 40 件,若原售价每降低 1 元,则可多售出 10 件。另知 $ B $ 种商品的售价不变,$ A $ 种商品售价不得低于 $ B $ 种商品售价。设 $ A $ 种商品每件降价 $ m $ 元,如果 $ A $,$ B $ 两种商品销售量相同,求 $ m $ 为何值时,该商场销售 $ A $,$ B $ 两种商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？
(1) 求 $ A $,$ B $ 两种商品的销售单价。
(2) 经市场调研发现,$ A $ 种商品按原售价销售,可售出 40 件,若原售价每降低 1 元,则可多售出 10 件。另知 $ B $ 种商品的售价不变,$ A $ 种商品售价不得低于 $ B $ 种商品售价。设 $ A $ 种商品每件降价 $ m $ 元,如果 $ A $,$ B $ 两种商品销售量相同,求 $ m $ 为何值时,该商场销售 $ A $,$ B $ 两种商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？
答案
(1) 设 $A$ 种商品的销售单价为 $x$ 元，$B$ 种商品的销售单价为 $y$ 元。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}20x + 10y = 840, \\10x + 15y = 660.\end{cases}$
将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：
$\begin{cases}60x + 30y = 2520, \\20x + 30y = 1320.\end{cases}$
用第一个新方程减去第二个新方程，得到：
$40x = 1200 \implies x = 30$，
将 $x = 30$ 代入原方程组的任一方程中，例如 $20x + 10y = 840$，解得：
$20 × 30 + 10y = 840 \implies 10y = 240 \implies y = 24$。
所以$A$ 种商品的销售单价为 $30$ 元，$B$ 种商品的销售单价为 $24$ 元。
(2) 由题意知，$A$ 种商品每件降价 $m$ 元后，其销售单价为 $30 - m$ 元，销售量为 $40 + 10m$ 件。
因为 $A$，$B$ 两种商品销售量相同，所以 $B$ 种商品的销售量也为 $40 + 10m$ 件。
$A$ 种商品的单件利润为 $(30 - m - 20)$ 元，$B$ 种商品的单件利润为 $(24 - 20)$ 元。
因此，总利润 $w$ 可以表示为：
$w = (30 - m - 20)(40 + 10m) + (24 - 20)(40 + 10m)$
$= (10 - m)(40 + 10m) + 4(40 + 10m)$
$= 400 + 100m - 40m - 10m^2 + 160 + 40m$
$= -10m^2 + 100m + 560$
由于 $A$ 种商品售价不得低于 $B$ 种商品售价，即 $30 - m \geq 24$，解得 $m \leq 6$。
又因为 $m$ 为降价金额，所以 $m \geq 0$。
因此，$m$ 的取值范围为 $0 \leq m \leq 6$。
由于 $w = -10m^2 + 100m + 560$ 是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即 $m = \frac{-b}{2a} = \frac{-100}{2 × (-10)} = 5$。
将 $m = 5$ 代入 $w$ 的表达式中，得到最大利润为：
$w_{最大} = -10 × 5^2 + 100 × 5 + 560 = -250 + 500 + 560 = 810$。
所以当 $m = 5$ 时，该商场销售 $A$，$B$ 两种商品所获得的总利润最大，最大利润是 $810$ 元。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}20x + 10y = 840, \\10x + 15y = 660.\end{cases}$
将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：
$\begin{cases}60x + 30y = 2520, \\20x + 30y = 1320.\end{cases}$
用第一个新方程减去第二个新方程，得到：
$40x = 1200 \implies x = 30$，
将 $x = 30$ 代入原方程组的任一方程中，例如 $20x + 10y = 840$，解得：
$20 × 30 + 10y = 840 \implies 10y = 240 \implies y = 24$。
所以$A$ 种商品的销售单价为 $30$ 元，$B$ 种商品的销售单价为 $24$ 元。
(2) 由题意知，$A$ 种商品每件降价 $m$ 元后，其销售单价为 $30 - m$ 元，销售量为 $40 + 10m$ 件。
因为 $A$，$B$ 两种商品销售量相同，所以 $B$ 种商品的销售量也为 $40 + 10m$ 件。
$A$ 种商品的单件利润为 $(30 - m - 20)$ 元，$B$ 种商品的单件利润为 $(24 - 20)$ 元。
因此，总利润 $w$ 可以表示为：
$w = (30 - m - 20)(40 + 10m) + (24 - 20)(40 + 10m)$
$= (10 - m)(40 + 10m) + 4(40 + 10m)$
$= 400 + 100m - 40m - 10m^2 + 160 + 40m$
$= -10m^2 + 100m + 560$
由于 $A$ 种商品售价不得低于 $B$ 种商品售价，即 $30 - m \geq 24$，解得 $m \leq 6$。
又因为 $m$ 为降价金额，所以 $m \geq 0$。
因此，$m$ 的取值范围为 $0 \leq m \leq 6$。
由于 $w = -10m^2 + 100m + 560$ 是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即 $m = \frac{-b}{2a} = \frac{-100}{2 × (-10)} = 5$。
将 $m = 5$ 代入 $w$ 的表达式中，得到最大利润为：
$w_{最大} = -10 × 5^2 + 100 × 5 + 560 = -250 + 500 + 560 = 810$。
所以当 $m = 5$ 时，该商场销售 $A$，$B$ 两种商品所获得的总利润最大，最大利润是 $810$ 元。
