1. 如图,∠A= 30°,∠C'= 60°,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,则∠B= .

$90^\circ$

由于$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$关于直线$l$对称，
根据对称性质，$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$，
所以对应角相等，即$\angle B' = \angle B$，$\angle A=\angle A'= 30^\circ$，$\angle C=\angle C' = 60^\circ$。
根据三角形内角和为$180^\circ$，
$\angle B'=180^\circ- \angle A' - \angle C' = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$，
所以$\angle B = \angle B' = 90^\circ$。

2. 已知$P_1(a - 1,5)$和$P_2(2,b - 1)$关于x轴对称,则(a + b)^{2023}的值为.

-1

因为关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以可得：$a - 1 = 2$，$b - 1 = -5$。解得$a = 3$，$b = -4$。则$a + b = 3 + (-4) = -1$，所以$(a + b)^{2023} = (-1)^{2023} = -1$。

3. 如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心、大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB= 7,则△ABC的周长为()

A.7
B.14
C.17
D.20

C

根据作图方法可知，$MN$是线段$AB$的垂直平分线。
因为线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$DA = DB$。
已知$\triangle ADC$的周长为$10$，即$AC + CD + AD = 10$，又因为$AD = DB$，所以$AC + CD + DB = 10$，也就是$AC + BC = 10$。
已知$AB = 7$，那么$\triangle ABC$的周长为$AC + BC + AB = 10 + 7 = 17$。

4. 若点A(-2,4),B(2,4),C(-1,2),D(1,2),E(-4,1),F(4,1)是平面直角坐标系内的6个点,选择其中三个点连成一个三角形,剩下三个点连成另一个三角形,若这两个三角形关于y轴对称,称为一组对称三角形,则在坐标系中这些点构成的对称三角形有()
A.2组
B.3组
C.4组
D.5组

C

首先，将6个点按关于y轴对称分为三组：(A(-2,4),B(2,4))，(C(-1,2),D(1,2))，(E(-4,1),F(4,1))。要使两个三角形关于y轴对称，需从每组对称点中各选1个点组成一个三角形，剩下3个点（每组另一个对称点）组成另一个三角形。每组有2种选法，共2³=8种选法，其中每2种选法对应同一组对称三角形（如选左左左与右右右为一组），且所选3点纵坐标分别为4,2,1，不共线，能构成三角形。故共有8÷2=4组对称三角形。

5. 已知点A(2a - b,5 + a),B(2b - 1,-a + b).
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值;
(2)若点A,B关于y轴对称,求(4a + b)^{2024}的值.

(1)
因为点$A(2a - b,5 + a)$，$B(2b - 1,-a + b)$关于$x$轴对称，
所以$\begin{cases}2a - b = 2b - 1 \\5 + a = -(-a + b) \end{cases}$
即$\begin{cases}2a - b = 2b - 1 \\5 + a = a - b \end{cases}$
由$5 + a = a - b$可得$b = - 5$，
把$b = - 5$代入$2a - b = 2b - 1$得$2a+5 = -10 - 1$，
$2a=-16$，
$a = - 8$
(2)
因为点$A(2a - b,5 + a)$，$B(2b - 1,-a + b)$关于$y$轴对称，
所以$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1) \\5 + a = -a + b \end{cases}$
即$\begin{cases}2a - b = -2b + 1 \\5 + a = -a + b \end{cases}$
由$2a - b = -2b + 1$得$2a + b = 1$ ①
由$5 + a = -a + b$得$2a - b = - 5$ ②
① + ②得$4a=-4$，$a = - 1$
把$a = - 1$代入①得$-2 + b = 1$，$b = 3$
把$a = - 1$，$b = 3$代入$(4a + b)^{2024}$得$[4×(-1)+3]^{2024}=(-1)^{2024}=1$
综上，(1)中$a = - 8$，$b = - 5$；(2)中$(4a + b)^{2024}$的值为$1$。

6. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(a,0),B(0,b),且a,b满足$(a - 4)^{2}+\sqrt{b + 4}= 0,$点C,B关于x轴对称.
(1)求A,C两点的坐标;
(2)点M为x轴正半轴上A点右侧一动点,过点M作MN⊥CM交直线AB于点N,连BM,是否存在点M,使$S_{△AMN}= \frac{3}{2}S_{△AMB}?$若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.

(1)$A(4,0)$，$C(0,4)$；(2)存在，$M(6,0)$。

(1)因为$(a - 4)^2+\sqrt{b + 4}= 0$，且$(a-4)^2\geq0$，$\sqrt{b+4}\geq0$，所以$a-4=0$，$b+4=0$，解得$a=4$，$b=-4$，则$A(4,0)$，$B(0,-4)$。
因为点$C$，$B$关于$x$轴对称，$B(0,-4)$，所以$C(0,4)$。
(2)存在。设$M(m,0)(m＞4)$，直线$AB$：由$A(4,0)$，$B(0,-4)$得$y=x - 4$。
直线$CM$：过$C(0,4)$，$M(m,0)$，设$y=k_1x + 4$，代入$M(m,0)$得$k_1=-\frac{4}{m}$，故$CM$：$y=-\frac{4}{m}x + 4$。
因为$MN\perp CM$，所以$MN$斜率$k_2=\frac{m}{4}$，$MN$：$y=\frac{m}{4}(x - m)$。
联立$MN$与$AB$：$x - 4=\frac{m}{4}(x - m)$，解得$x=m + 4$，则$N(m + 4,m)$。
$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}(m - 4)\cdot m$，$S_{\triangle AMB}=\frac{1}{2}(m - 4)\cdot 4=2(m - 4)$。
由$S_{\triangle AMN}=\frac{3}{2}S_{\triangle AMB}$得$\frac{1}{2}m(m - 4)=3(m - 4)$，$m＞4$，解得$m=6$，故$M(6,0)$。