10. 在$1\sim2026这2026$个整数中,使得$\frac{n^{2}+1}{n + 1}是最简分数的n$共有个.

1013

要使$\frac{n^2 + 1}{n + 1}$是最简分数，需$\gcd(n^2 + 1, n + 1) = 1$。
由辗转相除法：$\gcd(n^2 + 1, n + 1) = \gcd(n + 1, (n^2 + 1) \mod (n + 1))$。
计算余数：$n^2 + 1 = (n + 1)(n - 1) + 2$，故余数为2，因此$\gcd(n^2 + 1, n + 1) = \gcd(n + 1, 2)$。
要使$\gcd(n + 1, 2) = 1$，则$n + 1$为奇数，即$n$为偶数。
在1~2026中，偶数个数为$2026 ÷ 2 = 1013$。

11. 计算：
(1)$4a^{2}b÷(-\frac{a}{2b})^{2}\cdot(-\frac{b}{8a})$；
(2) $(\frac{a^{2}b}{-c})^{3}\cdot(\frac{c^{2}}{-ab})^{2}÷(\frac{bc}{a})^{4}$；
(3)$(\frac{x^{2}-y^{2}}{xy})^{2}÷(x + y)\cdot(\frac{x}{x - y})^{3}$.

(1) $4a^{2}b÷\left(-\frac{a}{2b}\right)^{2}\cdot\left(-\frac{b}{8a}\right)$
$=4a^{2}b÷\frac{a^{2}}{4b^{2}}\cdot\left(-\frac{b}{8a}\right)$
$=4a^{2}b\cdot\frac{4b^{2}}{a^{2}}\cdot\left(-\frac{b}{8a}\right)$
$=16b^{3}\cdot\left(-\frac{b}{8a}\right)$
$=-\frac{2b^{4}}{a}$
(2) $\left(\frac{a^{2}b}{-c}\right)^{3}\cdot\left(\frac{c^{2}}{-ab}\right)^{2}÷\left(\frac{bc}{a}\right)^{4}$
$=\left(-\frac{a^{6}b^{3}}{c^{3}}\right)\cdot\frac{c^{4}}{a^{2}b^{2}}÷\frac{b^{4}c^{4}}{a^{4}}$
$=-\frac{a^{6}b^{3}}{c^{3}}\cdot\frac{c^{4}}{a^{2}b^{2}}\cdot\frac{a^{4}}{b^{4}c^{4}}$
$=-\frac{a^{8}}{b^{3}c^{3}}$
(3) $\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}\right)^{2}÷(x + y)\cdot\left(\frac{x}{x - y}\right)^{3}$
$=\frac{(x + y)^{2}(x - y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\cdot\frac{1}{x + y}\cdot\frac{x^{3}}{(x - y)^{3}}$
$=\frac{x(x + y)}{y^{2}(x - y)}$

12. 先化简,再求值：$\frac{16 - a^{2}}{a^{2}+8a + 16}÷\frac{a - 4}{2a + 8}\cdot\frac{a - 2}{a + 2}$,其中$a = 3$.

答题卡：
原式$= \frac{16 - a^{2}}{a^{2} + 8a + 16} ÷ \frac{a - 4}{2a + 8} \cdot \frac{a - 2}{a + 2}$
$= \frac{(4 + a)(4 - a)}{(a + 4)^{2}} ÷ \frac{a - 4}{2(a + 4)} \cdot \frac{a - 2}{a + 2}$
$= \frac{(4 + a)(4 - a)}{(a + 4)^{2}} \cdot \frac{2(a + 4)}{a - 4} \cdot \frac{a - 2}{a + 2}$
$= - \frac{2(a - 2)}{a + 2}$
当$a = 3$时，
原式$= - \frac{2 × (3 - 2)}{3 + 2}$
$= - \frac{2}{5}$