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4. 计算$(12x^{3} - 8x^{2} + 16x)÷(-4x)$的结果是(
A. $-3x^{2} + 2x - 4$
B. $-3x^{2} - 2x + 4$
C. $-3x^{2} + 2x + 4$
D. $3x^{2} - 2x + 4$
A
)A. $-3x^{2} + 2x - 4$
B. $-3x^{2} - 2x + 4$
C. $-3x^{2} + 2x + 4$
D. $3x^{2} - 2x + 4$
答案
A
解析
$(12x^{3} - 8x^{2} + 16x)÷(-4x)$
$=12x^{3}÷(-4x) - 8x^{2}÷(-4x) + 16x÷(-4x)$
$=-3x^{2} + 2x - 4$
$=12x^{3}÷(-4x) - 8x^{2}÷(-4x) + 16x÷(-4x)$
$=-3x^{2} + 2x - 4$
5. (2025·葫芦岛)长方形的面积是$12a^{2} - 6ab$。若一边长是$3a$,则与其相邻的另一边长是(
A. $4a + 2b$
B. $4a - 2b$
C. $2a - 4b$
D. $2a + 4b$
B
)A. $4a + 2b$
B. $4a - 2b$
C. $2a - 4b$
D. $2a + 4b$
答案
B
解析
因为长方形面积等于长乘宽，已知面积为$12a^{2}-6ab$，一边长为$3a$，所以另一边长为$(12a^{2}-6ab)÷3a = 12a^{2}÷3a - 6ab÷3a = 4a - 2b$
6. 计算：
(1) $(9x^{2}y - 6xy^{2})÷3xy$；
(2) $\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2}) + (4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2})÷2x^{2}y$。
(1) $(9x^{2}y - 6xy^{2})÷3xy$；
(2) $\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2}) + (4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2})÷2x^{2}y$。
答案
(1) $3x - 2y$
(2) $3xy^{2}$
(2) $3xy^{2}$
解析
(1) 对于 $(9x^{2}y - 6xy^{2}) ÷ 3xy$，分别将 $9x^{2}y$ 和 $-6xy^{2}$ 除以 $3xy$：
$\frac{9x^{2}y}{3xy} = 3x$，
$\frac{-6xy^{2}}{3xy} = -2y$，
所以，$(9x^{2}y - 6xy^{2}) ÷ 3xy = 3x - 2y$。
(2) 对于 $\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2}) + (4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2}) ÷ 2x^{2}y$：
首先计算 $\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2})$：
$\frac{1}{2}x × 3xy = \frac{3}{2}x^{2}y$，
$\frac{1}{2}x × 2y^{2} = xy^{2}$，
然后计算 $(4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2}) ÷ 2x^{2}y$：
$\frac{4x^{3}y^{3}}{2x^{2}y} = 2xy^{2}$，
$\frac{-3x^{4}y^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{3}{2}x^{2}y$，
将上述结果相加得：
$\frac{3}{2}x^{2}y + xy^{2} + 2xy^{2} - \frac{3}{2}x^{2}y = 3xy^{2}$，
所以，$\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2}) + (4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2}) ÷ 2x^{2}y = 3xy^{2}$。
$\frac{9x^{2}y}{3xy} = 3x$，
$\frac{-6xy^{2}}{3xy} = -2y$，
所以，$(9x^{2}y - 6xy^{2}) ÷ 3xy = 3x - 2y$。
(2) 对于 $\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2}) + (4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2}) ÷ 2x^{2}y$：
首先计算 $\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2})$：
$\frac{1}{2}x × 3xy = \frac{3}{2}x^{2}y$，
$\frac{1}{2}x × 2y^{2} = xy^{2}$，
然后计算 $(4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2}) ÷ 2x^{2}y$：
$\frac{4x^{3}y^{3}}{2x^{2}y} = 2xy^{2}$，
$\frac{-3x^{4}y^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{3}{2}x^{2}y$，
将上述结果相加得：
$\frac{3}{2}x^{2}y + xy^{2} + 2xy^{2} - \frac{3}{2}x^{2}y = 3xy^{2}$，
所以，$\frac{1}{2}x(3xy + 2y^{2}) + (4x^{3}y^{3} - 3x^{4}y^{2}) ÷ 2x^{2}y = 3xy^{2}$。
1. (易错题)下列计算$(27a^{8})÷(12a^{3})÷(3a)$的方法不正确的是(
A. $(27÷12÷3)a^{8 - 3 - 1}$
B. $[(27a^{8})÷(12a^{3})]÷(3a)$
C. $(27a^{8})÷[(12a^{3})÷(3a)]$
D. $[(27a^{8})÷(3a)]÷(12a^{3})$
C
)A. $(27÷12÷3)a^{8 - 3 - 1}$
B. $[(27a^{8})÷(12a^{3})]÷(3a)$
C. $(27a^{8})÷[(12a^{3})÷(3a)]$
D. $[(27a^{8})÷(3a)]÷(12a^{3})$
答案
C
解析
根据整式的除法运算规则，逐一分析选项：
A. 按照系数的除法和指数的减法规则，$(27÷12÷3)a^{8 - 3 - 1}$ 是正确的计算方法，它遵循了单项式除以单项式的运算法则。
B. $[(27a^{8})÷(12a^{3})]÷(3a)$，首先进行前两个单项式的除法，然后再除以第三个单项式，这也是正确的运算顺序。
C. $(27a^{8})÷[(12a^{3})÷(3a)]$，这个选项改变了原题的运算顺序，原题是连续除法，而这个选项变成了先计算括号内的除法，再执行外部的除法，这与原题的运算顺序不符，因此是不正确的。
D. $[(27a^{8})÷(3a)]÷(12a^{3})$，与B选项类似，也是按照一定的顺序进行除法运算，这是正确的。
A. 按照系数的除法和指数的减法规则，$(27÷12÷3)a^{8 - 3 - 1}$ 是正确的计算方法，它遵循了单项式除以单项式的运算法则。
B. $[(27a^{8})÷(12a^{3})]÷(3a)$，首先进行前两个单项式的除法，然后再除以第三个单项式，这也是正确的运算顺序。
C. $(27a^{8})÷[(12a^{3})÷(3a)]$，这个选项改变了原题的运算顺序，原题是连续除法，而这个选项变成了先计算括号内的除法，再执行外部的除法，这与原题的运算顺序不符，因此是不正确的。
D. $[(27a^{8})÷(3a)]÷(12a^{3})$，与B选项类似，也是按照一定的顺序进行除法运算，这是正确的。
2. 已知$(8x^{3}y^{m})÷(28x^{n}y^{2}) = \frac{2}{7}y^{2}$,那么$m$,$n$的值为(
A. $m = 4$,$n = 3$
B. $m = 4$,$n = 1$
C. $m = 2$,$n = 3$
D. $m = 1$,$n = 3$
A
)A. $m = 4$,$n = 3$
B. $m = 4$,$n = 1$
C. $m = 2$,$n = 3$
D. $m = 1$,$n = 3$
答案
A
解析
根据整式的除法法则，单项式除以单项式时，系数与系数相除，同底数幂分别相除。
对于给定的等式 $(8x^{3}y^{m}) ÷ (28x^{n}y^{2}) = \frac{2}{7}y^{2}$，
首先处理系数：$\frac{8}{28} = \frac{2}{7}$，
接着处理 $x$ 的幂：$x^{3} ÷ x^{n} = x^{3-n}$，
由于等式右边没有 $x$ 项，因此 $x^{3-n}$ 必须等于 1，即 $3-n=0$，解得 $n=3$。
最后处理 $y$ 的幂：$y^{m} ÷ y^{2} = y^{m-2}$，
由于等式右边是 $y^{2}$，因此 $m-2=2$，解得 $m=4$。
综上，$m=4$，$n=3$。
对于给定的等式 $(8x^{3}y^{m}) ÷ (28x^{n}y^{2}) = \frac{2}{7}y^{2}$，
首先处理系数：$\frac{8}{28} = \frac{2}{7}$，
接着处理 $x$ 的幂：$x^{3} ÷ x^{n} = x^{3-n}$，
由于等式右边没有 $x$ 项，因此 $x^{3-n}$ 必须等于 1，即 $3-n=0$，解得 $n=3$。
最后处理 $y$ 的幂：$y^{m} ÷ y^{2} = y^{m-2}$，
由于等式右边是 $y^{2}$，因此 $m-2=2$，解得 $m=4$。
综上，$m=4$，$n=3$。
3. 若规定新的运算：$a\bigotimes b = a^{2}÷b^{3}$,则$(2xy^{2})\bigotimes (-y) = $
$-4x^{2}y$
。答案
$-4x^{2}y$
解析
根据定义，$(2xy^{2})\bigotimes (-y) = \frac{(2xy^{2})^{2}}{(-y)^{3}}$，
计算$(2xy^{2})^{2}$：
$(2xy^{2})^{2} = 4x^{2}y^{4}$
计算$(-y)^{3}$：
$(-y)^{3} = -y^{3}$
进行除法运算：
$\frac{4x^{2}y^{4}}{-y^{3}} = -4x^{2}y$
计算$(2xy^{2})^{2}$：
$(2xy^{2})^{2} = 4x^{2}y^{4}$
计算$(-y)^{3}$：
$(-y)^{3} = -y^{3}$
进行除法运算：
$\frac{4x^{2}y^{4}}{-y^{3}} = -4x^{2}y$
4. 填空：(1) $(8x^{5} - 6x^{3} - 2x)÷(-2x) = $
(2) $(15x^{2}y - 10xy^{2})÷(5xy) = $
$-4x^{4} + 3x^{2} + 1$
。(2) $(15x^{2}y - 10xy^{2})÷(5xy) = $
$3x - 2y$
。答案
(1) $-4x^{4} + 3x^{2} + 1$；(2) $3x - 2y$
解析
(1) 对于 $(8x^{5} - 6x^{3} - 2x) ÷ (-2x)$，分别将各项除以 $-2x$：
$8x^{5} ÷ (-2x) = -4x^{4}$，
$-6x^{3} ÷ (-2x) = 3x^{2}$，
$-2x ÷ (-2x) = 1$，
所以，$(8x^{5} - 6x^{3} - 2x) ÷ (-2x) = -4x^{4} + 3x^{2} + 1$。
(2) 对于 $(15x^{2}y - 10xy^{2}) ÷ (5xy)$，分别将各项除以 $5xy$：
$15x^{2}y ÷ 5xy = 3x$，
$-10xy^{2} ÷ 5xy = -2y$，
所以，$(15x^{2}y - 10xy^{2}) ÷ (5xy) = 3x - 2y$。
$8x^{5} ÷ (-2x) = -4x^{4}$，
$-6x^{3} ÷ (-2x) = 3x^{2}$，
$-2x ÷ (-2x) = 1$，
所以，$(8x^{5} - 6x^{3} - 2x) ÷ (-2x) = -4x^{4} + 3x^{2} + 1$。
(2) 对于 $(15x^{2}y - 10xy^{2}) ÷ (5xy)$，分别将各项除以 $5xy$：
$15x^{2}y ÷ 5xy = 3x$，
$-10xy^{2} ÷ 5xy = -2y$，
所以，$(15x^{2}y - 10xy^{2}) ÷ (5xy) = 3x - 2y$。
5. 已知一个长方体零件体积为$12a^{3}b - 4a^{4}b^{3} + 2a^{2}b^{2}$,底面积为$2ab$,则这个零件的高为
$-2a^{3}b^{2} + 6a^{2} + ab$
。答案
$-2a^{3}b^{2} + 6a^{2} + ab$
解析
长方体的高 = 体积 ÷ 底面积，即$(12a^{3}b - 4a^{4}b^{3} + 2a^{2}b^{2}) ÷ 2ab$。
$\begin{aligned}&12a^{3}b ÷ 2ab = 6a^{2},\\&-4a^{4}b^{3} ÷ 2ab = -2a^{3}b^{2},\\&2a^{2}b^{2} ÷ 2ab = ab,\end{aligned}$
所以高为$-2a^{3}b^{2} + 6a^{2} + ab$。
$\begin{aligned}&12a^{3}b ÷ 2ab = 6a^{2},\\&-4a^{4}b^{3} ÷ 2ab = -2a^{3}b^{2},\\&2a^{2}b^{2} ÷ 2ab = ab,\end{aligned}$
所以高为$-2a^{3}b^{2} + 6a^{2} + ab$。
6. 计算：
(1) $(28x^{4}y^{2})÷(7x^{3}y)$；
(2) $(12xy^{2})÷(4xy) - (8x^{2}y)÷(4xy)$；
(3) $3a·(-2b)^{2}÷(6ab)$。
(1) $(28x^{4}y^{2})÷(7x^{3}y)$；
(2) $(12xy^{2})÷(4xy) - (8x^{2}y)÷(4xy)$；
(3) $3a·(-2b)^{2}÷(6ab)$。
答案
(1) $4xy$
(2) $3y - 2x$
(3) $2b$
(2) $3y - 2x$
(3) $2b$
解析
(1) 根据整式的除法法则，单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
$(28x^{4}y^{2}) ÷ (7x^{3}y) = \frac{28}{7} × x^{4-3} × y^{2-1} = 4xy$
(2) 同样应用整式的除法法则，并注意到需要执行减法操作。
$(12xy^{2}) ÷ (4xy) - (8x^{2}y) ÷ (4xy) = 3y - 2x$
(3) 首先计算乘方，然后执行乘法和除法操作。
$3a \cdot (-2b)^{2} ÷ (6ab) = 3a \cdot 4b^{2} ÷ (6ab) = \frac{12ab^{2}}{6ab} = 2b$
$(28x^{4}y^{2}) ÷ (7x^{3}y) = \frac{28}{7} × x^{4-3} × y^{2-1} = 4xy$
(2) 同样应用整式的除法法则，并注意到需要执行减法操作。
$(12xy^{2}) ÷ (4xy) - (8x^{2}y) ÷ (4xy) = 3y - 2x$
(3) 首先计算乘方，然后执行乘法和除法操作。
$3a \cdot (-2b)^{2} ÷ (6ab) = 3a \cdot 4b^{2} ÷ (6ab) = \frac{12ab^{2}}{6ab} = 2b$
