7. (2025山西中考)如图25-1-2-5是创新小组设计的一款小程序的界面示意图,程序规则为：每点击一次按钮,“☺”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“☺”位于格子A时,小明连续点击两次按钮,“☺”回到格子A的概率是。

$\frac{1}{2}$

第一次点击，“☺”从格子A向左或向右移动，有2种等可能结果：左、右。
第二次点击，若第一次向左，第二次可向左或向右；若第一次向右，第二次可向左或向右，共4种等可能结果：左左、左右、右左、右右。
其中回到格子A的结果为左右、右左，共2种。
概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

8. 如图25-1-2-6,$\triangle ABC$中,点 $ D $,$ E $,$ F $ 分别为 $ AB $,$ AC $,$ BC $ 的中点,点 $ P $,$ M $,$ N $ 分别为 $ DE $,$ DF $,$ EF $ 的中点,若随机向 $\triangle ABC$ 内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为。

$\frac{1}{16}$

设$\triangle ABC$的面积为$S$。
$\because D$，$E$，$F$分别为$AB$，$AC$，$BC$的中点，
$\therefore \triangle DEF$是$\triangle ABC$的中点三角形，$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{4}S$。
$\because P$，$M$，$N$分别为$DE$，$DF$，$EF$的中点，
$\therefore \triangle PMN$是$\triangle DEF$的中点三角形，$S_{\triangle PMN}=\frac{1}{4}S_{\triangle DEF}=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}S=\frac{1}{16}S$。
$\therefore$米粒落在阴影部分的概率为$\frac{S_{\triangle PMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{1}{16}S}{S}=\frac{1}{16}$。
$\frac{1}{16}$

9. 如图25-1-2-7是一个转盘,小王和小赵在做游戏,两人各转动这个转盘一次,若指针落在红色部分,则小王得1分；若指针落在白色部分,则小赵得1分；若指针落在黄色部分,双方均不得分,重新再转。问：这个规则对双方公平吗？

解:因为在四种等可能结果中,红色占两种,白色占一种,所以小王获胜的概率为$\frac{1}{2}$,小赵获胜的概率为$\frac{1}{4}$。所以游戏不公平。

解:由图可知转盘被等分为4个部分，其中红色部分2个，白色部分1个，黄色部分1个。指针落在每个部分的可能性相同，黄色部分重新转动，故有效结果为红色和白色部分，共3种等可能结果。小王获胜（指针落在红色部分）的概率为$\frac{2}{3}$，小赵获胜（指针落在白色部分）的概率为$\frac{1}{3}$。因为$\frac{2}{3}\neq\frac{1}{3}$，所以游戏不公平。

10. 一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球,它们除颜色外都相同。
(1) 求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2) 现在从袋中取出若干个黑球,并放入相同数量的黄球,搅拌均匀后,使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$。问：至少取出了多少个黑球？

解:
(1)$\frac{1}{8}$
(2)设取出x个黑球,由题意,得$\frac{5+x}{40}\geq\frac{1}{3}$,解得$x\geq\frac{25}{3}$,
∴x的最小正整数解是9,即至少取出了9个黑球。