1. 下列说法中,不正确的是()
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.圆的每一条直径是它的对称轴

D

2. 如图24-1-2-4,已知 $ \odot O $ 的直径 $ AB \perp $ 弦 $ CD $,垂足为 $ E $,下列结论中一定正确的是()

A.$ AE = OE $
B.$ CE = DE $
C.$ OE = \frac{1}{2}CE $
D.$ \angle AOC = 60^{\circ} $

B

∵AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD，垂足为E，
∴CE=DE（垂径定理）。
B

3. 如图24-1-2-5,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ AB $ 的长为8,$ P $ 是 $ \odot O $ 上一个动点(不与点 $ A $,$ B $ 重合),过点 $ O $ 作 $ OC \perp AP $,垂足为 $ C $,作 $ OD \perp PB $,垂足为 $ D $,则 $ CD $ 的长为。

4

连接 $ OP $。
因为 $ OC \perp AP $，$ OD \perp PB $，根据垂径定理，$ OC $ 平分 $ AP $，$ OD $ 平分 $ PB $，所以 $ C $ 是 $ AP $ 中点，$ D $ 是 $ PB $ 中点。
因此，$ CD $ 是 $ \triangle APB $ 的中位线。
由三角形中位线定理得 $ CD = \frac{1}{2}AB $。
已知 $ AB = 8 $，所以 $ CD = \frac{1}{2} × 8 = 4 $。
4

4. 某居民区一处圆形下水管道破裂,维修人员准备更换一段新管道,如图24-1-2-6,污水水面宽度为60 cm,水面到管道顶部的距离为10 cm,则修理人员应准备内径为cm的管道。(内径指内部直径)

100

设管道内径为$d$ cm，则半径$r = \frac{d}{2}$ cm。
水面宽度$AB = 60$ cm，水面到管道顶部距离为$10$ cm，所以水面到圆心的距离为$(r - 10)$ cm。
过圆心$O$作$OC \perp AB$于$C$，则$AC = \frac{AB}{2} = 30$ cm。
在$Rt\triangle OAC$中，由勾股定理得：$OC^2 + AC^2 = OA^2$，即$(r - 10)^2 + 30^2 = r^2$。
展开得：$r^2 - 20r + 100 + 900 = r^2$，化简得：$-20r + 1000 = 0$，解得$r = 50$。
所以$d = 2r = 100$ cm。
100

5. 如图24-1-2-7,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的弦,$ \odot O $ 的半径为5,$ OC \perp AB $,垂足为 $ D $,交 $ \odot O $ 于点 $ C $,且 $ CD = 1 $。求弦 $ AB $ 的长。

6

连接 $OA$。
因为 $\odot O$ 的半径为 $5$，所以 $OA = OC = 5$。
因为 $CD = 1$，所以 $OD = OC - CD = 5 - 1 = 4$。
因为 $OC \perp AB$，根据垂径定理，$AD = DB$，$\triangle OAD$ 是直角三角形。
在 $Rt\triangle OAD$ 中，由勾股定理得：$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
所以 $AB = 2AD = 2 × 3 = 6$。
答案：$6$

6. 如图24-1-2-8,在 $ \odot O $ 中,相等的弦 $ AB $,$ AC $ 互相垂直,$ E $ 是 $ AC $ 的中点,$ OD \perp AB $,垂足为 $ D $。求证：四边形 $ AEOD $ 是正方形。

证明：
1. ∵OD⊥AB，由垂径定理得AD=1/2AB。
2. ∵E是AC中点，∴AE=1/2AC，又AB=AC，∴AD=AE。
3. ∵AB⊥AC（已知），OD⊥AB（已知），∴OD//AC（垂直于同一直线的两直线平行）。
4. 过O作OE'⊥AC于E'，由垂径定理得E'为AC中点，∵E是AC中点，∴E'=E，即OE⊥AC，∠AEO=90°。
5. ∵OE⊥AC，AB⊥AC，∴OE//AB（垂直于同一直线的两直线平行）。
6. 由OD//AC，OE//AB，得四边形AEOD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
7. ∵∠ADO=90°（OD⊥AB），∴平行四边形AEOD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
8. ∵AD=AE（已证），∴矩形AEOD是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
综上，四边形AEOD是正方形。