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4. 下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的,其中第①个图形有$3$颗棋子,第②个图形有$9$颗棋子,第③个图形有$18$颗棋子……则第⑥个图形中棋子的颗数为(
A.$63$
B.$84$
C.$108$
D.$152$
A
)A.$63$
B.$84$
C.$108$
D.$152$
答案
A
解析
第①个图形：3颗棋子，可以表示为 $3 × 1 = 3$。
第②个图形：9颗棋子，可以表示为 $3 × (1 + 2) = 9$。
第③个图形：18颗棋子，可以表示为 $3 × (1 + 2 + 3) = 18$。
根据规律，第$n$个图形中的棋子数为 $3 × (1 + 2 + 3 + \ldots + n)$。
求第⑥个图形中的棋子数，即 $3 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$。
计算 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$。
因此，第⑥个图形中的棋子数为 $3 × 21 = 63$。
第②个图形：9颗棋子，可以表示为 $3 × (1 + 2) = 9$。
第③个图形：18颗棋子，可以表示为 $3 × (1 + 2 + 3) = 18$。
根据规律，第$n$个图形中的棋子数为 $3 × (1 + 2 + 3 + \ldots + n)$。
求第⑥个图形中的棋子数，即 $3 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$。
计算 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$。
因此，第⑥个图形中的棋子数为 $3 × 21 = 63$。
5. 如图,各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,$x$的值为(
A.$181$
B.$217$
C.$219$
D.$199$
D
)A.$181$
B.$217$
C.$219$
D.$199$
答案
D
解析
观察各正方形中数字规律：
1. 左上角数（m）：1，2，3…，右上角数（n）：1，3，5…，规律为 $ n=2m-1 $；
2. 左下角数 = 左上角数 + 1，即 $ b=a+1 $；
3. 右下角数（q）与左上角数（m）关系：$ q=2m^2-1 $（验证：$ 2×1^2-1=1 $，$ 2×2^2-1=7 $，$ 2×3^2-1=17 $）。
对于第四个正方形：
右上角为19，由 $ 2a-1=19 $ 得 $ a=10 $；
左下角 $ b=a+1=11 $；
右下角 $ x=2×10^2-1=199 $。
1. 左上角数（m）：1，2，3…，右上角数（n）：1，3，5…，规律为 $ n=2m-1 $；
2. 左下角数 = 左上角数 + 1，即 $ b=a+1 $；
3. 右下角数（q）与左上角数（m）关系：$ q=2m^2-1 $（验证：$ 2×1^2-1=1 $，$ 2×2^2-1=7 $，$ 2×3^2-1=17 $）。
对于第四个正方形：
右上角为19，由 $ 2a-1=19 $ 得 $ a=10 $；
左下角 $ b=a+1=11 $；
右下角 $ x=2×10^2-1=199 $。
6. 观察一列单项式：$x$,$-3x^{3}$,$7x^{5}$,$-15x^{7}$,$31x^{9}$,…$则第n$个单项式是
$(-1)^{n+1}(2^{n}-1)x^{2n-1}$
。答案
$(-1)^{n+1}(2^{n}-1)x^{2n-1}$
解析
观察单项式符号：正负交替，为$(-1)^{n+1}$；x的指数：1,3,5,7,9…，为$2n-1$；系数绝对值：1=2¹-1,3=2²-1,7=2³-1,15=2⁴-1,31=2⁵-1…，为$2^{n}-1$。综上，第n个单项式是$(-1)^{n+1}(2^{n}-1)x^{2n-1}$。
7. $a是不为2$的有理数,我们把$\dfrac{2}{2 - a}称为a$的“哈利数”,如$3$的“哈利数”是$\dfrac{2}{2 - 3} = - 2$,$- 2$的“哈利数”是$\dfrac{2}{2 - (-2)} = \dfrac{1}{2}$。已知$a_{1} = 3$,$a_{2}是a_{1}$的“哈利数”,$a_{3}是a_{2}$的“哈利数”,$a_{4}是a_{3}$的“哈利数”……依此类推,则$a_{2023}$的值为(
A.$3$
B.$-2$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{4}{3}$
C
)A.$3$
B.$-2$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
C
解析
由题意得，“哈利数”定义为$\frac{2}{2 - a}$。
$a_1 = 3$；
$a_2=\frac{2}{2 - a_1}=\frac{2}{2 - 3}=-2$；
$a_3=\frac{2}{2 - a_2}=\frac{2}{2 - (-2)}=\frac{1}{2}$；
$a_4=\frac{2}{2 - a_3}=\frac{2}{2 - \frac{1}{2}}=\frac{4}{3}$；
$a_5=\frac{2}{2 - a_4}=\frac{2}{2 - \frac{4}{3}}=3=a_1$，
故数列以$3,-2,\frac{1}{2},\frac{4}{3}$为周期循环，周期为4。
$2023÷4=505\cdots\cdots3$，余数为3，对应周期中第3个数$\frac{1}{2}$。
$a_1 = 3$；
$a_2=\frac{2}{2 - a_1}=\frac{2}{2 - 3}=-2$；
$a_3=\frac{2}{2 - a_2}=\frac{2}{2 - (-2)}=\frac{1}{2}$；
$a_4=\frac{2}{2 - a_3}=\frac{2}{2 - \frac{1}{2}}=\frac{4}{3}$；
$a_5=\frac{2}{2 - a_4}=\frac{2}{2 - \frac{4}{3}}=3=a_1$，
故数列以$3,-2,\frac{1}{2},\frac{4}{3}$为周期循环，周期为4。
$2023÷4=505\cdots\cdots3$，余数为3，对应周期中第3个数$\frac{1}{2}$。
8. 如图,将形状大小完全相同的★按照一定的规律摆成下列图形,图①中★的个数为$a_{1}$,图②中★的个数为$a_{2}$,图③中★的个数为$a_{3}$……依此类推,第$n$幅图中★的个数为$a_{n}$,则$\dfrac{n}{a_{1}} + \dfrac{n}{a_{2}} + \dfrac{n}{a_{3}} + … + \dfrac{n}{a_{2023}}$的值为(
A.$\dfrac{2023n}{2024}$
B.$\dfrac{2022n}{2023}$
C.$\dfrac{2023}{2024}$
D.$\dfrac{2022}{2023}$
A
)A.$\dfrac{2023n}{2024}$
B.$\dfrac{2022n}{2023}$
C.$\dfrac{2023}{2024}$
D.$\dfrac{2022}{2023}$
答案
A
解析
由题意，观察图形规律可得：图①中$a_1=1×2=2$，图②中$a_2=2×3=6$，图③中$a_3=3×4=12$，…，归纳得$a_n=n(n+1)$。
则$\frac{n}{a_k}=\frac{n}{k(k+1)}=n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$（$k=1,2,\dots,2023$）。
原式$=n\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}\right)\right]=n\left(1-\frac{1}{2024}\right)=\frac{2023n}{2024}$。
则$\frac{n}{a_k}=\frac{n}{k(k+1)}=n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$（$k=1,2,\dots,2023$）。
原式$=n\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}\right)\right]=n\left(1-\frac{1}{2024}\right)=\frac{2023n}{2024}$。
