25. (本小题 13 分)两个小组同时开始攀登一座 450 m 高的山,第一组的攀登速度是第二组的 1.2 倍,他们比第二组早 15 min 到达顶峰.
(1) 求第二组的攀登速度;
(2) 第二组下山时为了缩短时间,准备加快速度,现有两种方案:
① 前一半路程速度为 p m/min,后一半路程速度为 q m/min;
② 返回速度始终保持为$\frac{p+q}{2}$m/min.
其中$p≠q$,且 p,q 均为正数,两种方案中哪种平均速度更快?

(1)设第二组的攀登速度为$x$ m/min，则第一组的攀登速度为$1.2x$ m/min。
根据题意，得$\frac{450}{x}-\frac{450}{1.2x}=15$。
方程两边同乘$1.2x$，得$450×1.2 - 450=15×1.2x$。
化简，得$540 - 450=18x$，即$90=18x$。
解得$x=5$。
经检验，$x=5$是原方程的解，且符合题意。
答：第二组的攀登速度为$5$ m/min。
(2)方案①的平均速度$v_1$：总路程为$450$ m，前一半路程时间$\frac{225}{p}$ min，后一半路程时间$\frac{225}{q}$ min，总时间$\frac{225}{p}+\frac{225}{q}=\frac{225(p + q)}{pq}$ min。
$v_1=\frac{450}{\frac{225(p + q)}{pq}}=\frac{2pq}{p + q}$。
方案②的平均速度$v_2=\frac{p + q}{2}$。
比较$v_1$与$v_2$：$v_2 - v_1=\frac{p + q}{2}-\frac{2pq}{p + q}=\frac{(p + q)^2 - 4pq}{2(p + q)}=\frac{(p - q)^2}{2(p + q)}$。
因为$p\neq q$，$p,q＞0$，所以$(p - q)^2＞0$，$2(p + q)＞0$，则$v_2 - v_1＞0$，即$v_2＞v_1$。
答：方案②平均速度更快。

26. (本小题 13 分)如图,P 是等边三角形 ABC 内一点,$∠BPC= 90^{\circ}$,以 PC 为边在 PC 的左侧作等边三角形 CPQ,连接 AQ.
(1) 根据题意补全图形;
(2) 求$∠AQC$的度数;
(3) 延长 QP 交 AB 于点 D,判断 D 是否为线段 AB 的中点,并说明理由.

(1) 补全图形如下：以PC为边在PC左侧作等边三角形CPQ，连接AQ。
(2) ∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°。
∵△CPQ是等边三角形，∴CQ=CP，∠PCQ=60°。
∴∠ACB=∠PCQ，∴∠ACB-∠ACP=∠PCQ-∠ACP，即∠BCP=∠ACQ。
在△ACQ和△BCP中，$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\∠ACQ=∠BCP\\CQ=CP\end{array}\right.$，∴△ACQ≌△BCP(SAS)。
∴∠AQC=∠BPC=90°。
(3) D是线段AB的中点。理由如下：
∵△CPQ是等边三角形，∴∠CQP=60°，∠CPQ=60°。
∵∠AQC=90°，∴∠AQD=∠AQC-∠CQP=30°。
过A作AE⊥DQ于E，过B作BF⊥DQ于F。
在Rt△AQE中，∠AQD=30°，∴AE=$\frac{1}{2}$AQ。
∵△ACQ≌△BCP，∴AQ=BP。
在△BPC中，∠BPC=90°，∠CPQ=60°，∴∠BPQ=∠BPC-∠CPQ=30°。
在Rt△BPF中，∠BPQ=30°，∴BF=$\frac{1}{2}$BP。
∵AQ=BP，∴AE=BF。
∵AE⊥DQ，BF⊥DQ，∴∠AED=∠BFD=90°。
又∠ADE=∠BDF，∴△ADE≌△BDF(AAS)。
∴AD=BD，即D是AB中点。