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3. 如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,AH⊥BC于点H. 下列说法不正确的是(
A.BD = CD
B.∠BHA = 90°
C.BD = $\frac{1}{2}$BC
D.DH = CH
D
)A.BD = CD
B.∠BHA = 90°
C.BD = $\frac{1}{2}$BC
D.DH = CH
答案
D
解析
∵D是BC边上的中点，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，选项A、C正确；
∵AH⊥BC于点H，
∴∠BHA=90°，选项B正确；
由题图可知，DH≠CH，选项D不正确。
D
4. 若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上,则这个三角形是
直角
三角形.答案
直角
5. 如图,在△ABC中,D,E分别是边BC,AB的中点. 若△ABC的面积等于8,则△BDE的面积等于
2
.答案
2
解析
∵D是BC中点，△ABC面积为8，
∴△ABD面积为$\frac{1}{2}×8=4$。
∵E是AB中点，
∴△BDE面积为$\frac{1}{2}×4=2$。
2
6. 如图,△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O,有以下结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线. 以上结论中,正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
①
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，即AO平分∠BAE，故AO是△ABE的角平分线，①正确；
②
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，无法得出AO=OD，故BO不是△ABD的中线，②错误；
③
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，又AD是△ABC的角平分线，D在BC上，DE与△ADC的边AC、DC无关，故DE不是△ADC的中线，③错误；
④
∵AE=CE，AD是角平分线，无法得出∠BED=∠CED，故ED不是△EBC的角平分线，④错误。
正确的结论有1个。
A
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，即AO平分∠BAE，故AO是△ABE的角平分线，①正确；
②
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，无法得出AO=OD，故BO不是△ABD的中线，②错误；
③
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，又AD是△ABC的角平分线，D在BC上，DE与△ADC的边AC、DC无关，故DE不是△ADC的中线，③错误；
④
∵AE=CE，AD是角平分线，无法得出∠BED=∠CED，故ED不是△EBC的角平分线，④错误。
正确的结论有1个。
A
7. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC = 50°,∠ABC = 60°,则∠EAD + ∠ACD等于(
A.75°
B.80°
C.85°
D.90°
A
)A.75°
B.80°
C.85°
D.90°
答案
A
解析
在△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，故∠ACD=∠ACB=70°。
AD是BC边上的高，∠ADC=90°，
∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=20°。
AE是∠BAC的平分线，∠BAE=∠CAE=∠BAC/2=25°，
∠EAD=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°。
∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°。
A
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，故∠ACD=∠ACB=70°。
AD是BC边上的高，∠ADC=90°，
∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=20°。
AE是∠BAC的平分线，∠BAE=∠CAE=∠BAC/2=25°，
∠EAD=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°。
∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°。
A
8. 如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S_{△ABC} = 4$cm^2,则阴影部分的面积为
1
cm^2.答案
1
解析
∵D是BC中点，$S_{\triangle ABC}=4\,cm^2$，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=2\,cm^2$。
∵E是AD中点，
∴$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=1\,cm^2$，$S_{\triangle CED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}=1\,cm^2$。
∴$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BED}+S_{\triangle CED}=1+1=2\,cm^2$。
∵F是CE中点，
∴$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}×2=1\,cm^2$。
1
9. 已知AD,AE分别是△ABC的高、中线,BE = 6,CD = 4,则DE的长为
2或10
.答案
2或10
解析
AE是△ABC的中线，BE=6，所以BE=EC=6，BC=BE+EC=12。
情况一：点D在BC上，AD是高，CD=4，BC=12，所以BD=BC-CD=8，DE=BD-BE=8-6=2。
情况二：点D在BC延长线上，CD=4，BC=12，所以BD=BC+CD=16，DE=BD-BE=16-6=10。
2或10
情况一：点D在BC上，AD是高，CD=4，BC=12，所以BD=BC-CD=8，DE=BD-BE=8-6=2。
情况二：点D在BC延长线上，CD=4，BC=12，所以BD=BC+CD=16，DE=BD-BE=16-6=10。
2或10
10. 已知AD是△ABC的一条高,∠BAD = 70°,∠CAD = 20°,求∠BAC的度数.
答案
解:根据题意画出图形,有以下两种情况:
如图1,$∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°$;如图2,$∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°$,所以$∠BAC=90°$或$50°$.
11. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多2,且AB的长与AC的长的和为10.
(1)求AB,AC的长.
(2)求BC边的取值范围.
(1)求AB,AC的长.
(2)求BC边的取值范围.
答案
解:
(1)
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ABD的周长-△ADC的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,
即$AB-AC=2$.①
又$AB+AC=10$,②
①+②得,$2AB=12$,解得$AB=6$,
②-①得,$2AC=8$,解得$AC=4$,
∴AB,AC的长分别6,4.
(2)
∵$AB=6,AC=4$,
∴$2＜BC＜10$.
(1)
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ABD的周长-△ADC的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,
即$AB-AC=2$.①
又$AB+AC=10$,②
①+②得,$2AB=12$,解得$AB=6$,
②-①得,$2AC=8$,解得$AC=4$,
∴AB,AC的长分别6,4.
(2)
∵$AB=6,AC=4$,
∴$2＜BC＜10$.
