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5. 将含$30^\circ$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知$\angle \alpha=60^\circ$,点 B,C 表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段 AB 的长为
$2\sqrt{3}$
cm.答案
$2\sqrt{3}$
解析
由题意得，$BC=3-1=2\ cm$.
设三角板中$30^\circ$角的顶点为$D$，直尺的上边为直线$l$，则$BC// l$，$\angle \alpha=60^\circ$的对顶角与三角板中的$60^\circ$角构成同位角，可得三角板的斜边与直尺边的夹角为$60^\circ$.
在含$30^\circ$角的直角三角板中，设$30^\circ$所对直角边为$x$，则斜边为$2x$，另一直角边为$\sqrt{3}x$.
由图可知$BC$为三角板$60^\circ$角所对的直角边在直尺上的投影，且$\angle ABC=60^\circ$，在$\triangle ABC$中，$\cos 60^\circ=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{AB}$，解得$AB=4$（此步骤有误，正确思路应为：过$A$作$AE\perp BC$于$E$，设$AE=h$，则$AB=\frac{h}{\sin 60^\circ}$，$EC=\frac{h}{\tan 30^\circ}$，$BE=\frac{h}{\tan 60^\circ}$，$BC=EC-BE=h(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{3}h=2$，解得$h=\sqrt{3}$，则$AB=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，最终正确答案为$2\sqrt{3}$）.
$2\sqrt{3}$
设三角板中$30^\circ$角的顶点为$D$，直尺的上边为直线$l$，则$BC// l$，$\angle \alpha=60^\circ$的对顶角与三角板中的$60^\circ$角构成同位角，可得三角板的斜边与直尺边的夹角为$60^\circ$.
在含$30^\circ$角的直角三角板中，设$30^\circ$所对直角边为$x$，则斜边为$2x$，另一直角边为$\sqrt{3}x$.
由图可知$BC$为三角板$60^\circ$角所对的直角边在直尺上的投影，且$\angle ABC=60^\circ$，在$\triangle ABC$中，$\cos 60^\circ=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{AB}$，解得$AB=4$（此步骤有误，正确思路应为：过$A$作$AE\perp BC$于$E$，设$AE=h$，则$AB=\frac{h}{\sin 60^\circ}$，$EC=\frac{h}{\tan 30^\circ}$，$BE=\frac{h}{\tan 60^\circ}$，$BC=EC-BE=h(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{3}h=2$，解得$h=\sqrt{3}$，则$AB=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，最终正确答案为$2\sqrt{3}$）.
$2\sqrt{3}$
6. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AB 上,且$BD= AE$,AD 与 CE 交于点 F,则∠DFC 的度数为______.
答案
解析
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°。
∵BD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)。
∴∠BAD=∠ACE。
∵∠DFC=∠FAC+∠ACE，∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠DFC=∠BAC=60°。
60°
7. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D 在边 AB 上,点 E 在边 AC 上.折叠△ADE,使点 A 落在边 BC 上的点 F 处,则$\angle BDF+\angle CEF$的度数为
120°
.答案
120°
解析
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°。
由折叠性质得：∠DFE=∠A=60°，AD=FD，AE=FE。
∴∠ADF=180°-2∠PDF，∠AEF=180°-2∠PEF（设∠PDF=α，∠PEF=β）。
∵∠B+∠BDF+∠ADF=180°，∠C+∠CEF+∠AEF=180°，
∴60°+∠BDF+180°-2α=180°，60°+∠CEF+180°-2β=180°。
∴∠BDF=2α-60°，∠CEF=2β-60°。
∵∠DFE+α+β=180°，
∴60°+α+β=180°，α+β=120°。
∴∠BDF+∠CEF=2α-60°+2β-60°=2(α+β)-120°=2×120°-120°=120°。
120°
8. 如图,△ABD 与△AEC 都是等边三角形,$AB\neq AC$,连接 BE,CD,交于点 O.有下列结论:① $BE= CD$;② $\angle BOD= 60^\circ$;③ $\angle BDO= \angle CEO$.其中正确的是
①②
.(填序号)答案
①②
解析
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\ \angle DAC=\angle BAE\\ AC=AE\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=CD，∠ADC=∠ABE，故①正确；
∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE，∠ODB+∠ADC=∠ADB=60°，∠ABE=∠ADC，∠DBA=60°，
∴∠BOD=180°-(60°-∠ADC)-60°-∠ADC=60°，故②正确；
∵AB≠AC，AD=AB，AE=AC，
∴AD≠AE，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠BDO=∠ADC=∠ABE，∠CEO=∠AEB=∠ACD，
但∠ABE与∠ACD不一定相等，故③错误。
正确的是①②。
9. 如图,△ABC 是等边三角形,D 是边 AC 的中点,连接 BD,作$CE\perp BC$,且$CE= BD$,连接 AE,DE.求证:△ADE 是等边三角形.
答案
解析
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵D是AC中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°，
∴∠ABD=∠ACE．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle ABD=\angle ACE\\ BD=CE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°．
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵D是AC中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°，
∴∠ABD=∠ACE．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle ABD=\angle ACE\\ BD=CE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°．
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
