1. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠B= 50°,AB= 10,则BC的长为()

A.$10\tan50^{\circ}$
B.$10\cos50^{\circ}$
C.$10\sin50^{\circ}$
D.$\frac{10}{\cos50^{\circ}}$

B

在直角三角形$ABC$中，已知$\angle C = 90°$，$\angle B = 50°$，$AB = 10$。
根据余弦函数的定义，有$\cos B = \frac{BC}{AB}$，
即$\cos 50° = \frac{BC}{10}$，
所以$BC = 10 \cos 50°$。

2. 如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,设∠ADE= α,且$\sin\alpha=\frac{4}{5}$,AB= 4,则AD的长为()

A.3
B.$\frac{16}{3}$
C.$\frac{20}{3}$
D.$\frac{16}{5}$

B

在$Rt\triangle ADE$中，$\angle AED = 90^{\circ}$，$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，设$AE = 4x$，则$DE = 5x$（因为$\sin\alpha=\frac{DE}{AD}$的对应关系，设比例系数为$x$），根据勾股定理$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}} = 3x×\frac{5}{4} × \frac{4}{3}=5x× \frac{4}{4}= 5x$（由$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，设$DE = 4k$，$AD = 5k$，$AE = 3k$）。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AB = CD = 4$，$\angle ADC = 90^{\circ}$。
又因为$DE\perp AC$，所以$\angle ADE+\angle EDC = 90^{\circ}$，$\angle EDC+\angle DCE = 90^{\circ}$，则$\angle DCE=\angle ADE=\alpha$。
在$Rt\triangle DEC$中，$\sin\angle DCE=\frac{DE}{DC}$，已知$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，$DC = 4$，所以$\frac{DE}{4}=\frac{4}{5}$，则$DE=\frac{16}{5}$。
因为$AD = \frac{DE}{\sin\alpha}$，$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，$DE=\frac{16}{5}$，所以$AD=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{16}{3}×\frac{5}{5}=\frac{16}{3}×1=\frac{16}{3}$。