6. 如图,在平面直角坐标系中,函数y= kx与$y= -\frac{2}{x}$的图象交于A,B两点,过点A作y轴的垂线,交函数$y= \frac{4}{x}$的图象于点C,连接BC,则△ABC的面积为()

A.2
B.4
C.6
D.8

C

本题可先根据反比例函数与正比例函数的性质得出$A$、$B$两点关于原点对称，再设出$A$点坐标，进而得到$C$点坐标，最后根据三角形面积公式求解$\triangle ABC$的面积。
步骤一：分析$A$、$B$两点的关系
因为正比例函数$y = kx$的图象与反比例函数$y = -\frac{2}{x}$的图象交于$A$、$B$两点，根据正比例函数和反比例函数的性质可知，这两个函数的交点$A$、$B$关于原点对称，所以$OA = OB$。
步骤二：设$A$点坐标并表示出$C$点坐标
设$A$点坐标为$(x,-\frac{2}{x})$，因为$AC$垂直于$y$轴，所以$C$点的纵坐标与$A$点纵坐标相同，又因为$C$点在$y = \frac{4}{x}$的图象上，将$y = -\frac{2}{x}$代入$y = \frac{4}{x}$中求横坐标：
$-\frac{2}{x}=\frac{4}{x_{C}}$（$x_{C}$为$C$点横坐标），可得$x_{C}=-2x$，则$C$点坐标为$(-2x,-\frac{2}{x})$。
步骤三：计算$AC$的长度
$A(x,-\frac{2}{x})$，$C(-2x,-\frac{2}{x})$，由于两点纵坐标相同，则$AC$的长度为两点横坐标差的绝对值，即$\vert -2x - x\vert=\vert -3x\vert = 3\vert x\vert$。
步骤四：计算$\triangle ABC$的面积
因为$OA = OB$，所以${S}_{\triangle ABC}=2{S}_{\triangle AOC}$。
${S}_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× AC× \vert y_{A}\vert$（$y_{A}$为$A$点纵坐标），$AC = 3\vert x\vert$，$\vert y_{A}\vert=\vert -\frac{2}{x}\vert=\frac{2}{\vert x\vert}$，则${S}_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× 3\vert x\vert×\frac{2}{\vert x\vert}= 3$。
所以${S}_{\triangle ABC}=2{S}_{\triangle AOC}=2× 3 = 6$。

7. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B在函数$y= \frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,分别以点A,B为圆心、1为半径作圆,当$\odot A$与y轴相切,$\odot B$与x轴相切时,连接AB,$AB= 3\sqrt{2}$,则k的值为()

A.6
B.4
C.$3\sqrt{2}$
D.3

B

设点A坐标为$(x_1,y_1)$，点B坐标为$(x_2,y_2)$。
∵$\odot A$与y轴相切，半径为1，∴点A到y轴距离$x_1=1$，又点A在$y=\frac{k}{x}$上，∴$y_1=k$，即$A(1,k)$。
∵$\odot B$与x轴相切，半径为1，∴点B到x轴距离$y_2=1$，又点B在$y=\frac{k}{x}$上，∴$x_2=k$，即$B(k,1)$。
由两点间距离公式，$AB=\sqrt{(k-1)^2+(1-k)^2}=3\sqrt{2}$。
化简得$\sqrt{2(k-1)^2}=3\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}|k-1|=3\sqrt{2}$，$|k-1|=3$。
∵$k＞0$，∴$k-1=3$（$k-1=-3$时$k=-2$舍去），解得$k=4$。

8. 如图,正比例函数$y_1= k_1x和反比例函数y_2= \frac{k_2}{x}$的图象交于A(1,2),B两点,给出下列结论:①$k_1＜k_2$;②当x＜-1时,$y_1＜y_2$;③当$y_1＞y_2$时,$y_2$随x的增大而减小;④当x＜0时,$y_2$随x的增大而减小.其中正确的有()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

C

1. 求k₁、k₂：将A(1,2)代入y₁=k₁x得k₁=2；代入y₂=k₂/x得k₂=2。故k₁=k₂=2，①错误。
2. 交点B坐标：正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，A(1,2)，则B(-1,-2)。
3. 结论②：当x＜-1时，取x=-2，y₁=2×(-2)=-4，y₂=2/(-2)=-1，此时y₁=-4＜y₂=-1，故②正确。
4. 结论③：y₁＞y₂时，解2x＞2/x得x＞1或-1＜x＜0。在x＞1（第一象限）和-1＜x＜0（第三象限）内，y₂分别随x增大而减小，但跨象限（如x=-0.5到x=2）时y₂增大，故③错误。
5. 结论④：y₂=2/x（k=2＞0），x＜0时对应第三象限分支，y₂随x增大而减小，④正确。
综上，正确的是②④，共2个。

9. 如图,在平面直角坐标系中,点P在反比例函数$y= \frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,其纵坐标为2,过点P作PQ//y轴,交x轴于点Q,将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的图象上,则k的值为()

A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B

设点Q的坐标为$(h,0)$，因点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上且纵坐标为2，故点P坐标为$(h,2)$，则$k=2h$（由$2=\frac{k}{h}$得）。
PQ长度为2（P到x轴距离），将QP绕Q顺时针旋转60°得QM，故QM=QP=2，∠PQM=60°。
过Q作x轴正方向，QP为竖直向上，顺时针旋转60°后，QM与x轴正方向夹角为30°。
则M点坐标为$(h+2\cos30°,0+2\sin30°)=(h+\sqrt{3},1)$。
因M在$y=\frac{k}{x}$上，故$(h+\sqrt{3})×1=k$。
又$k=2h$，代入得$h+\sqrt{3}=2h$，解得$h=\sqrt{3}$，则$k=2h=2\sqrt{3}$。

10. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在第二象限,其余顶点都在第一象限,AB//x轴,AO⊥AD,AO= AD.过点A作AE⊥CD,垂足为E,DE= 4CE.反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点E,与边AB交于点F,连接OE,OF,EF.若$S_{\triangle EOF}= \frac{11}{8}$,则k的值为()

A.$\frac{7}{3}$
B.$\frac{21}{4}$
C.7
D.$\frac{21}{2}$

A

设点A坐标为(a,b)，a＞0,b＞0。
∵AO⊥AD，AO=AD，设向量$\overrightarrow{AO}=(a,b)$，则$\overrightarrow{AD}=(-b,a)$（D在第二象限），故D(a-b,a+b)。
∵菱形ABCD，AB//x轴，设AB=m，则$\overrightarrow{AB}=(m,0)$，故B(a+m,b)，C(a-b+m,a+b)。
∵DE=4CE，CD=AB=m，∴DE=4m/5,CE=m/5。CD为水平线段（y=a+b），AE⊥CD（竖直线x=a），E(a,a+b)。
∴DE=x_E - x_D=a-(a-b)=b=4m/5，CE=x_C - x_E=(a-b+m)-a=m-b=m/5，得m=5b/4。
∵AO=AD=m，∴$\sqrt{a^2+b^2}=5b/4$，解得a=3b/4。
∵E(a,a+b)在$y=k/x$上，∴$a+b=k/a$，即$k=a(a+b)=a(7b/4)=21b^2/16$。
AB:y=b，与$y=k/x$交于F(k/b,b)，即F(21b/16,b)。
$S_{\triangle EOF}=1/2|x_E y_F - x_F y_E|=1/2|(3b/4)b - (21b/16)(7b/4)|=99b^2/128=11/8$，解得$b^2=16/9$。
∴$k=21b^2/16=21/9=7/3$。